11 de febrero de 2014

De las clases de números y de π


Escribí hace poco que “la Matemática es la más bella de las artes”; así, sin más explicaciones. Es sólo una frase. Pero es verdad que la matemática es la ciencia de la exactitud, de la certidumbre, de la perfección. En realidad, no siempre; hay regiones en las que esta verdad no es absoluta. Un matemático contemporáneo, Gregory J. Chaitin, habla así de sus descubrimientos: I have discovered an area or constructed an area where mathematical truth is completely random or structureless and escapes the power of reasoning, and will forever escape the power of reasoning. […] I work completely on the basis of intuition… The act of creation in mathematics is just as magical and mysterious as the act of artistic creation. I would also say that mathematics and art are much more similar than people realize (abrevio: He descubierto un área donde la verdad matemática escapa al poder del razonamiento. […] Trabajo por intuición… El acto de creación en matemáticas es tan mágico como en el arte. Diría que las matemáticas y el arte se parecen más de lo que la gente cree).

No puedo entrar en detalles. En el volumen II de mis ensayos, Por si ayudaran, hay uno, La Matemática, esa bella desconocida, en que dedico más tiempo a este tema. Ahora me limitaré a recordar las distintas clases de números y hablaré un poco más de uno de ellos, un trascendente, el designado con la letra griega π (pi).

Comprendemos bien los números racionales, no en balde se llaman así; son perfectamente asequibles a la razón… con un poquito de entrenamiento. Dentro de los racionales, hay diversas clases, pero todas participan de esa cualidad. Son naturales el uno, los primos y los compuestos. El cero ya supone un avance en el simbolismo de los números y la humanidad tardó siglos en entenderlo, en diseñarlo, en operar con él. También hay números  [que son negativos y esto tampoco es inmediatamente entendible para los recién iniciados. Ni el cero ni los negativos son números naturales, pero todos son números enteros. Los fraccionarios (propios e impropios) no son enteros y con estos forman el conjunto de los números racionales.

Los números irracionales son ya otro asunto.  No se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo y tienen infinitas cifras decimales aperiódicas. Hay dos tipos: algebraicos y trascendentes. No importa ahora distinguirlos y sólo he llegado hasta aquí para colocar en su debido lugar al número π. Junto a los racionales integran el conjunto de los números reales. Hay otros números, los imaginarios, que son bastante más incomprensibles. Estos, junto a los reales, forman el conjunto de los números complejos. Se suele decir que, de todos estos números, sólo los naturales fueron creados por Dios, los restantes son obra de los hombres.

¿Son entonces los hombres más listos que Dios? No, padre. Ocurre que el buen Dios nos dio un cerebro portentoso para que jugáramos; eso es todo. Por eso alguna gente piensa que aquellas verdades a las que se llega con él, con el cerebro, son las únicamente exigibles. ¿Y lo de las verdades del corazón, de las que habló Pascal? Eso, padre, entiendo yo que hay que saber cogerlo, restringirlo, moderarlo.

Ya sabemos que el número π es un irracional trascendente; tiene infinitas cifras decimales, sin un período que se repita incansablemente, su parte decimal es aperiódica. ¿Y se conocen muchas de esas cifras? Muchísimas. Hace unos cuatro mil años ya se tenía una idea aproximada de π. En el papiro egipcio Rhind, el escriba Ahmes sostiene que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado sea igual al diámetro del círculo menos su novena parte; es decir, 8/9 del diámetro. Esto da un valor de π de 3.1604938… Ha habido muchos cálculos posteriores. Hay muchas reglas mnemotécnicas para recordar los primeros decimales de π. Todo está en los libros.

Con los computadores, las cifras decimales de π crecieron desmesuradamente. En 1949 se calcularon 2037. En el 2009, con una supercomputadora, integrada por 640 computadoras de alto rendimiento, con velocidad de 95 teraflops —flops: floating-point operations per second—, se llegó a los dos billones y medio de decimales de π.

Yo quería hablar de una de las muy diversas formas de abordar el cálculo de π, diseñada por Georges Louis Leclerc (1707-1788), conde de Buffon, y que se conoce como el método de la ‘aguja de Buffon’. Desde que lo leí por primera vez, me recordó un juego que practicábamos de niños, lanzando un cincel o cortafrío, que no sé de dónde lo sacábamos, para clavarlo en terreno no muy duro, en unos cuadrados que dibujábamos previamente. Todo lo que antecede no es sino una introducción que me pareció pertinente. El asunto de la aguja lo dejaré para la siguiente entrada. Esto me pasa. No se olvide que de lo que trato es de mostrar cosas e incitar a recordarlas, a completarlas.