15 de febrero de 2014

La dote del Sultán


Iba a dejar por ahora estos temas matemáticos, pero luego pensé que era mejor machacar en caliente y hablar de un sutil problema que llamó mi atención hace tiempo, el de la dote del Sultán. Está relacionado con el número e, un irracional trascendente, base de los llamados logaritmos naturales o neperianos. Aparece muy a menudo en el cálculo, como el número π en geometría. Su descubrimiento se atribuye a uno de los Bernouilli suizos, Jacob, cuando estudiaba un supuesto de interés compuesto continuo, hacia finales del siglo XVII. Explicaré esto algo más. Su designación con la letra e minúscula, se debe al matemático, también suizo, Leonhard Euler, en el año 1727.

Repárese en los dos calificativos anteriores del interés: compuesto y continuo. Se habla de interés compuesto cuando la renta generada se reinvierte y empieza también a producir ganancia. Para calcularlo hay que conocer forzosamente el período temporal, la frecuencia, de reinversión. Lector, supón un capital de cien euros colocado al 100 % anual (los bancos muchas veces son muy generosos). Con interés simple, al año se tendrían doscientos. Pero si es compuesto, con un período de seis meses, se tendrán 225 —en el primer semestre 150 y en el segundo 225—. Si el período es mensual, se tienen 261,3035… Si es diario, 271,4567… (los decimales siempre infinitos).

Cada vez más euros. Si fuera cada segundo, 271,8281… Haciendo el período cada vez más corto, infinitesimal (interés compuesto continuo), se podría llegar, Dios sabe dónde. Tal vez a trescientos, cuatrocientos euros. ¡Ah, eso no! Las cantidades son progresivamente crecientes, pero crecen cada vez menos y hay un límite para esa progresión. Ese límite al que converge la serie y que no se puede sobrepasar, es justamente el número e. Y así lo encontró y calculó Bernouilli. Como ocurre con π, el número de decimales es infinito y en el 2010 se conocía un billón de ellos. Mostraré aquí sólo los nueve primeros: 2,718281828… En términos matemáticos, e es el límite de la expresión (1 + 1 /n) n , cuando n tiende a infinito.

Otro asunto relacionado. Si una cierta cantidad, por ejemplo, 20, la dividimos en dos y multiplicamos las dos partes, tenemos 100. Si la dividimos en cuatro, y las multiplicamos todas, tenemos 54 = 625, que es mucho más. Si la dividimos en diez partes, tenemos 210 = 1024, más aún. El máximo se tiene cuando se divide de manera que el tamaño de cada una de las partes se aproxime al número e. Curioso, verdad.

No es sólo eso. Si se cuelga una cadena de sus extremos, adopta una forma, que se puede describir con una fórmula en la está el número e. El crecimiento de poblaciones muchas veces es exponencial, lo que equivale a decir que en su estudio surge el número e. La llamada espiral logarítmica, la spira mirabilis, tan querida por Jacob Bernouilli, que quiso que fuera dibujada en la lápida de su tumba —lo que no logró, porque los canteros se equivocaron y esculpieron otra espiral, la de Arquímedes—, está presente en la naturaleza y en la fórmula que la describe también aparece el número e. Hay muchas espirales (la de Fermat, la hiperbólica, etc.); la logarítmica había sido descrita ya por Descartes, en 1638. Para terminar, incluso a la hora de resolver el problema de la dote del sultán, también hay que contar con el número e. Por eso me he permitido este preámbulo sobre dicho número.

Lector, este último problema, el de la dote del sultán, te interesa, porque te podría ayudar quizá a hacer un estupendo casamiento —matrimoniar con la hija más rica de un sultán—, lo que sería muy conveniente en estos tiempos de crisis. Y en todos los tiempos, para qué lo vamos a negar. Pero eso lo dejamos para la próxima entrada, para no hacer esta demasiado larga.