13 de febrero de 2014

Matemática, la bella desconocida


Como amenacé, hablaré del método de la ‘aguja de Buffon’ para calcular el valor de π. Siempre me recordó un juego de mi niñez: había que clavar una pequeña barra de hierro terminada en punta en unos cuadrados dibujados en la tierra y que se extendían hasta una cierta distancia del lanzador. Era más difícil cuanto más lejano estaba el cuadrado; si el hierro no se clavaba, quedaba tendido en la tierra.

El modelo de Georges Louis Leclerc, conde de Buffon, consiste en el lanzamiento al azar de una aguja sobre el dibujo de unas rectas paralelas equidistantes y es sobre todo una construcción teórica. El sabio francés demostró que la probabilidad de que la aguja cruce a alguna de ellas es igual a 2 / π. Por lo tanto, π = 2 * N * L / A * D, donde N es el número de lanzamientos de la aguja, A el número de veces que cruza alguna recta, L la longitud de la aguja y D la distancia entre las paralelas (el asterisco denota multiplicación). Es un problema clásico de probabilidad geométrica. Ahorro al lector, la deducción de la fórmula (más fácil si L≤ D), que puede encontrarse en cualquier libro. Todo deriva de que la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las rectas es proporcional al seno del ángulo que, al caer, forma con ellas.

Decidí fijarme en este modelo porque es muy conocido en la historia de la Matemática y relaciona realidades o conocimientos de campos dispares y aparentemente ajenos. También porque, con un PC y el programa apropiado, cualquiera puede simular en segundos el lanzamiento de la aguja un millón de veces y encontrar el valor de π. En realidad, la simulación no sirve para calcularlo, pero sí para validar el modelo y la llamada ley de los grandes números en la teoría de la probabilidad.

El número π está presente en muchos cálculos de áreas y volúmenes. Pero aparece en muchas más circunstancias. La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es 6 / π2, por ejemplo. Π está presente en la integral de Gauss, en la constante cosmológica, en el principio de incertidumbre de Heisenberg, etc. (omito las fórmulas). Finalmente, está en esa famosa identidad de Euler, que no deja de maravillar e inquietar a muchos: e i*π = -1. Parece que tuviera un sentido esotérico y mágico esta relación entre dos irracionales trascendentes y el imaginario i. Sobre π quedan abiertas todavía muchas incógnitas. No se sabe si alguno de los dígitos, del cero al nueve, puede dejar de aparecer en la serie de decimales de la constante. No se sabe con certeza si todos los dígitos tienen la misma probabilidad de aparecer en dicha serie…

Hay también geometrías que son perturbadoras, que tienen algo de misterioso e incomprensible. Entre las más curiosas está la de una superficie con una sola cara, como la ideada por el matemático alemán Augusto Fernando Moebius (1790-1868), que no es fácil de ser entendida o concebida por nuestro cerebro. O el llamado problema de los cuatro colores, planteado por Francis Gutrie en 1852. O el propuesto por Euler, conocido como el problema de los puentes de Königsberg (hoy Kaliningrado).

Lector, no quiero extenderme más y quedan muchas cosas en el aire. Pretendo decirte que la matemática no es aburrida y describe muchas realidades del Universo como no puede hacerlo ninguna otra ciencia; es el pensamiento en estado puro. El creador hizo el Cosmos more geométrico, ciertamente. Hay un conocido pasaje de Galileo, en Il Saggiatore, año 1623, donde expresa este convencimiento: el Universo está escrito en lenguaje matemático; sus letras son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible comprender una sola palabra.

No puedo terminar sin citar a Sir Francis Bacon: Pure mathematics do remedy and cure many defects in the wit and faculties intellectual; for if the wit be too dull, they sharpen it; if too wandering, they fix it; if too inherent in the sense, they abstract it (Las matemáticas remedian y curan muchos defectos de la inteligencia y facultades intelectuales; porque si el ingenio es demasiado romo, lo afilan; si demasiado movedizo, lo fijan; si demasiado pegado a los sentidos, lo hacen abstracto).

Tengo que terminar. He hablado de cosas en las que creo y a las que amo y de las que conozco sólo los principios más generales. Que no haya aburrido mucho, mi intención es buena.