Palabras clave (key words): coeficiente
binomial, modelo de Laplace, Thomas Bayes.
He escrito en alguna ocasión que lo que realmente amo son
los números. Hay una cierta exageración en esto, pero es bastante verdad. La
matemática es la exactitud, la certidumbre, un paraíso sin la serpiente de la
duda. Buena parte de mi vida la dediqué a evaluar y explicar, por medios
matemáticos, la incertidumbre en el diagnóstico.
Las gentes confiesan sin pudor que no recuerdan el
teorema de Pitágoras, aunque no reconocerían fácilmente no haber leído el
Quijote. Ahora, con motivo del empate en las votaciones de un partido político
catalán, la CUP, han circulado por la red y algunos periódicos notorias
inexactitudes sobre la probabilidad de tal resultado, de personas de distinta
formación, hasta profesores. Esto me lleva a escribir un poco sobre el asunto,
quebrantando una vez más mi propósito de tocar temas más bien risueños y
llevaderos. Me gustaría resumir algunos detalles pertinentes.
El empate (1515 vs
1515) no era imprevisible; su probabilidad es baja (~1.45 %), pero es el
resultado más probable de todos los posibles. Un suceso puede ser poco probable
y ser, no obstante, el más probable de un conjunto. Diré, para explicarlo, que
hay una sola manera de que todos los votos sean positivos, solo una. Por el
contrario, hay muchas de llegar al empate, lo que lo hace mucho más probable.
¿Cuántas maneras? Las he calculado y son 1.914563504E+910, en notación
científica. ¿Se entiende esto? Es muy fácil, imagínate, lector, un uno seguido
de 910 ceros…, pues casi el doble. Fácil, ya dije. La probabilidad de cada una
es muy pequeña, 7.5703E-913 (asumiendo los votos equiprobables, sin nulos,
etc., lo que se ajusta al resultado de la votación). Ya se entiende mejor,
¿verdad? Ahora tienes que multiplicar las dos cantidades; esto sí que es fácil,
de verdad. Hazlo. El resultado es 14.49E-3; o sea, 0.01449 (~1.45 %).
Este porcentaje ha sido recogido en algún periódico y se
calcula fácilmente; basta con obtener los factoriales de 3030 y 1515 y calcular
el llamado coeficiente binomial. Multiplicándolo por 0.5 elevado al exponente
3030, se tiene la probabilidad buscada. Pero también aparecieron en la prensa
cifras inexactas, como 0.033 %, por ejemplo. Porque alguien recurrió a la
“llamada regla de Laplace” que no es aplicable, ya que, si bien el voto
singular, el de cada votante, es equiprobable en este caso, los resultados de las votaciones totales no lo son.
Deberían haber hablado del “modelo de Laplace” —la regla,
teorema o desarrollo de Laplace es otra cosa—. Este modelo es el que da la
probabilidad 0.00033 (1/3031). Muy fácil, pero muy erróneo. La vida es así. Del
genial Laplace, el Newton francés, sólo diré que con su “regla de sucesión”
enseñó a calcular la probabilidad de que amanezca, igual a (d +1) / (d +2), siendo d el número
de días que amaneció hasta ahora. La edad de la Tierra es de unos 1 642 500 000
000 días, por lo que la probabilidad de que amanezca mañana es 0.99999999999939.
La de que no amanezca, 0.61E-12; o sea, menos de uno por billón. Mañana
amanecerá, casi seguro; habrá que comprar pan.
Claro que podría ser que amaneciera para los demás y no
para uno. Y hasta se podría pensar que, a cierta edad, los amaneceres ya no son
como antaño. Un escritor español joven, menciona en una de sus obras a “un anciano,
un jubilado en espera de la muerte”. Los habrá, lector, pero también te digo
que se pueden tener los más gozosos amaneceres de la vida. Con la libertad de
hacer cada día lo que quieras, sin plazos, sin obligaciones, casi sin rencores,
con tiempo para disfrutar como antes, más que antes.
Con lo del empate, hubo también quién habló
de probabilidades bayesianas, que no vienen a cuento —cosa c’entra?, que diría un romano del Trastévere—, aunque sean
perfectamente válidas en otras situaciones. Thomas Bayes (1702-1761), ministro anglicano,
estableció las bases para la inferencia de probabilidades, con un algoritmo que
permite adecuar su estimación a nuevos datos o evidencias. No era el caso aquí.
Los señores Mas y Baños, por los que siento
una ilimitada admiración intelectual, no corrigieron estos errores. Estaban muy
ocupados; si no, lo habrían hecho.
