De las Letras y de las Ciencias (5 de 5)

En mis entradas anteriores, he hablado un poco de los números primos, sobre todo de los de Mersenne, lo que representa una parte ínfima de una rama de la Matemática, la Teoría de Números, la más asequible para los profanos. Habría que decir algo, al menos, de Euclides, de Fermat, del “teorema fundamental de la aritmética”, etc. Este teorema establece que cualquier número natural es un producto de números primos (factores), que serían como los ladrillos con los que se construyen todos los números naturales. Lo enunció Euclides en el siglo III a. C., con algunas lagunas en su demostración, resueltas dos mil años más tarde por el matemático Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855). Y relatar también los esfuerzos de los investigadores por encontrar alguna regla en la sucesión de los números primos, misterio que persiste inviolable.

¡Son tantos los campos y tan fascinantes! Los llamados números de Fermat se calculan mediante la fórmula N_F = 2^(2^n) + 1, y Pierre de Fermat (1602-1665) pensó que todos eran primos, lo que no es cierto. De hecho son primos para n = 0 hasta 4. Para n=5, el número resultante, el 4294967297, es ya compuesto, igual a 641*6700417. {\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 670041Es el menor número de Fermat que no es primo, como fue probado por Leonhard Euler, en 1732. No está claro si hay más primos de Fermat; en la actualidad sólo se contemplan estos cinco, los mismos que conoció el jurista y matemático aficionado francés.

Fermat propuso también el conocido como su ‘último teorema’, cuya prueba desafió a los matemáticos durante más de tres siglos, hasta que fue resuelto en 1995. El teorema dice que la ecuación x^n + y^n = z^n no tiene solución con números enteros para n>=3 (>=, mayor o igual que). Sí la tiene para n=2; sabemos que 3^2 + 4^2 = 5^2. El proceso lógico específico de la matemática exigiría demostrar que, en efecto, para n=3 no existen números enteros que satisfagan la igualdad x^3 + y^3 = z^3 y, además, que esto ocurre forzosamente para todos los exponentes sucesivos mayores que 3.

Porque este es el método típico de la matemática, distinto al de la inducción incompleta, válido para las ciencias experimentales: la inducción completa o, mejor, “razonamiento por recurrencia”. En él se distinguen dos fases: en la primera se muestra que cierta proposición tiene el carácter que Bertrand Russell llamaba “hereditario” —si es verdadera para un elemento de una secuencia, ha de ser verdadera para el elemento que le sucede—. En la segunda fase se demuestra que la proposición es verdadera para ese primer término de la secuencia. Estas exigencias vienen de que la matemática es una ciencia exacta, el paradigma de las ciencias exactas, y en ella no tiene cabida la citada inducción incompleta. En el caso del último teorema de Fermat, la primera aserción no pudo demostrarse hasta 1995, por el británico Andrew J. Wiles, mediante métodos que se estima que sólo el 0.1 % de los matemáticos vivientes puede entender.

Puesto que todo numero natural es un producto de primos, uno puede preguntarse cuántos ‘factores primos’ tienen los distintos números. Esta cifra es variable y no hay una fórmula mágica para calcularla, ni es probable que se encuentre jamás. Sí se puede tener una idea de la distribución de ese número de factores en un determinado conjunto de números naturales y resulta que, cuando se estudia un conjunto grande, las frecuencias del número de tales factores adoptan una figura en forma de campana, bien conocida por los matemáticos: la curva de Gauss, como demostraron Paul Erdös y Marc Kac, un húngaro y un polaco, en 1939. El primero es el protagonista del libro de Paul Hoffman, The man who loved only numbers, amor excesivo, que tampoco es bueno.

Sólo he podido dar un rápido paseo por uno de los temas de la Matemática, ciencia que impresiona por su vastedad, por su inabarcabilidad. El saber ocupa mucho lugar; es el no saber el que no ocupa lugar. Hice mal, quizá hubiera debido ceñirme a expresar la idea más evidente de que esta ciencia es una especie de gimnasia intelectual. Porque es a la vez abstracta y concreta, alejada y cotidiana. Como médico, citaré unas palabras de Hipócrates a los médicos: El estudio de la aritmética y la geometría no sólo hará más esclarecida y útil vuestra vida, para un sinnúmero de actividades humanas, sino también más inteligente vuestro espíritu, y a vosotros más idóneos para dedicaros a la medicina. Y algo más severo aún, de Roger Bacon (1214-1294): Neglect of mathematics works injury to all knowledge, since he who is ignorant of it cannot know the other sciences or the things of this world. And what is worst, those who are thus ignorant are unable to perceive their own ignorance, and so do not seek a remedy.

Si alguien de Letras ignora por completo este bello mundo de la matemática, y el de otras ciencias, quizá merece ese calificativo peyorativo de ‘letrasado’. Hay que cuidar el cultivo de la Matemática, nos va demasiado en ello. El mundo se está haciendo más digital y computable cada día. Ejemplos recientes demuestran que la vida de las  complejas sociedades del presente, y nuestra libertad, pueden estar en peligro. Termino con otras palabras de Charles Percy Snow: So the great edifice of modern physics goes up, and the majority of the cleverest people in the western world have about as much insight into it as their Neolithic ancestors would have had (mientras el gran edificio de la física moderna crece, la mayoría de la gente más inteligente del mundo occidental tiene de ella la misma visión que sus antepasados del Neolítico). Mal  asunto, indeed. 

De las Letras y de las Ciencias (4 de 5)

Los números primos de Mersenne se obtienen mediante la fórmula: M_n = 2ⁿ  - 1 y al principio se pensaba que todos eran primos si n era primo; esto se vio luego que era falso y Hudalricus Regius ya mostró, en 1536, que 2¹¹ - 1 = 2047 no era primo (es igual a 23*89). Se comprobó más tarde que estos números eran primos para n=17, 19, 31, pero no para n=23, 29, 37… Fue por fin Mersenne quien compiló una lista de estos primos (exponentes hasta 257) y conjeturó que los de su lista eran los únicos posibles. Cometió algunos errores, porque incluyó a M₆₇ y M₂₅₇, que no son primos, y en cambio omitió M₆₁, M₈₉ y M₁₀₇, que sí lo son. También se equivocó al pensar que no existían primos de este tipo con exponentes mayores de 257; hoy sabemos que hay primos de Mersenne mucho más grandes. La lista definitiva, hasta el exponente 257, reconocida en 1947, es con los exponentes 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127.

Actualmente, hasta el 7 de enero del 2016, se conocen 49 primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos por ahora el M_{74 207 281} = 2^{74 207 281}−1, un número de más de veintidós millones de dígitos, exactamente 22338618. Los más recientes primos mayores, que se han ido conociendo gracias a potentes ordenadores, son casi siempre primos de Mersenne, pero no constantemente. Ha sido un matemático de la Central Missouri University, Curtis Cooper, el que calculó este último número; ya había logrado cuatro veces este récord, la primera el 15 de diciembre del 2005.

Ocurre también, lector amigo —supongo que puedo llamarte así a pesar de esta dura entrada— que 2ⁿ - 1 es la suma de la siguiente  progresión geométrica: 2⁰ + 2¹ +2² + 2³ +… + 2 ^(n-1) = 2ⁿ -1. No todas estas sumas, para diferentes n, son números primos, como ya se hizo notar; de hecho muy pocas son números primos. Tan pocas que, hasta ahora mismo —hasta el 7 de enero del 2016— sólo 49 cumplen la condición, como ya escribí. Entre los cien primeros números naturales hay sólo tres primos de Mersenne, el 3, el 7 y el 31, mientras que el número total de primos es veinticinco. Y entre los mil primeros números, en los que hay 168 primos, sólo hay 4 de Mersenne, los tres mencionados antes y el 127; estos cuatro eran ya conocidos por los matemáticos de la antigua Grecia. El quinto, el 8191, fue hallado en el siglo XV por un autor anónimo y los dos siguientes, el 131071 y el 524287, son del siglo XVI y se deben a Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), un brillante matemático italiano que nació y murió en la ciudad de Bolonia, mi querida Bolonia, en donde hice mi doctorado hace ya muchos años, aunque no tantos como para coincidir con este Pietro Antonio.

Los primos de Mersenne, que resultan del cómputo 2ⁿ -1 (la suma de una progresión, como ya sabemos), multiplicados por el último término de la misma, 2^(n-1), son números perfectos. Esta es la proposición final, para los cuatro primeros, del libro IX de los Elementos de Euclides de Alejandría, escritos hace unos 2300 años. Para que esto se entienda, tengo que decir lo que son los números perfectos, atribuidos por algunos a Pitágoras, unos doscientos años antes, y lo haré muy brevemente. Cualquier número, si no es primo, tiene divisores, aparte de él mismo y el uno. Al sumar todos los divisores de un número, la suma puede tener el mismo valor que el propio número, o ser mayor o menor. En el primer caso se dice que el número es perfecto. En los otros dos casos, se habla de números abundantes o defectivos, respectivamente. Dos ejemplos de números perfectos son el 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, y el 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248. Por todo lo explicado, resulta evidente que Pietro Antonio Cataldi, al hallar dos primos de Mersenne en el siglo XVI, también encontró, como es obligado, dos números perfectos, el sexto y el séptimo de orden: el (2¹⁷ – 1)* 2¹⁶ = 8.589.869.056 y el (2¹⁹ – 1)*2¹⁸= 137.438.691.328, respectivamente.

Escribiré algo más y terminaré esta serie con la próxima entrada, la quinta. Estoy arrepentido de cómo la planteé; mi objetivo era mostrar la potencialidad del paradigma científico para entender el mundo, frente al de las Letras para el mismo empeño. Venía todo del escrito de un periodista que, dado el sentido peyorativo del término “letrasado”, abundaba en las ventajas para esta tarea de la formación en Letras. Quería yo hacer valer el perfectamente compatible mérito de las Ciencias. Quise también, y ahí mi error, contar algo de los apasionantes problemas de la Matemática, esa “bella desconocida”. Pretender eso en unas pocas entradas es imposible.

Desde que se separaron claramente las Letras y las Ciencias —los sabios antiguos era teólogos, filósofos, matemáticos, médicos, etc., todo a la vez— se hizo evidente que la falta de comunicación entre aquellas era una desgracia. El físico y novelista inglés Charles Percy Snow, en su Conferencia Rede, en Cambridge, titulada Las dos culturas, de 1959, y en su libro sobre el mismo tema, de 1963, señaló que en gente dedicada a las Humanidades existe frecuentemente un desconocimiento profundo de principios y postulados científicos esenciales. Los de Ciencias, en cambio, por lo menos han oído hablar de Shakespeare. Esto puede tener alguna explicación, pero esa asimetría, que era negativa entonces y siempre, ahora puede ser catastrófica, suicida. 

De las Letras y de las Ciencias (3 de 5)

Terminé mi anterior entrada ensalzando la maravilla de esas alrededor de ochenta y cinco mil millones de neuronas que integran el cerebro humano y le permiten percibir el esplendor y hermosura no sólo del mundo de Dios, sino de las obras de los propios hombres —no escribo “y mujeres”, porque para cualquiera con dos dedos de frente la aclaración es innecesaria; cada vez que oigo en un mitin “ciudadanos y ciudadanas” me da un soponcio—. Y también indagar y conjeturar la estructura del Cosmos, mediante el poder del pensamiento científico, creando otros universos abstractos de sobrecogedora grandeza y armonía. Pensando en esas capacidades, conviene recordar que, por lo que se refiere a la Matemática, muchos de los profesionales que la estudian confiesan que el principal criterio para valorarla y amarla, en muchas de sus áreas, no es otro que la pura belleza formal, sin que ello conduzca a consecuencias prácticas inmediatas.

Aunque existen dominios de la misma que se prestan a tales aplicaciones. No es fácil diferenciar a priori en esta ciencia qué tareas pueden ser útiles en el manejo de la realidad. La historia de la Matemática está llena de ejemplos en los que se emprendió una investigación en un campo concreto, por un  interés meramente teórico, y luego resultó con aplicaciones prácticas. Como sucedió con la geometría no euclidiana de Gauss, Bolyai y Lobachevsky —en ella se da la paradoja de triángulos cuyos ángulos no suman exactamente 180º—, que luego sirvió de base para la geometría de Riemann, necesaria a su vez para que Einstein elaborara su teoría general de la relatividad.

Para ilustrar con un ejemplo el método clásico de trabajo en las matemáticas, me referiré a un tema que ha suscitado una antigua atención en la historia de esta materia: los números primos. Euclides de Alejandría (325 – 265 a. C.) los definió y ya pensó que había infinitos. Recordaré que número primo es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad: 2, 3, 5, 7 lo son; 9 ya no lo es, porque es divisible por 3. Ningún número par es primo, por definición, excepto el 2. Intuitivamente, uno piensa que a medida que un número sea más grande resultará más probable que tenga algún divisor ‘no permitido’ y por lo tanto no sea primo. En efecto, entre los cien primeros números hay 25 primos; entre los mil primeros la proporción es menor, sólo 168, etc. Sin embargo, incluso entre números enormes hay primos. Y no sólo eso, por grande que sea un número primo, siempre habrá otro más grande. Esto no es tan fácil de concebir y, sobre todo, de demostrar. ¿Cómo se demuestra la ‘primalidad’, la condición de primo?

Siglos antes de nuestra era, sabios chinos, de la corte del Emperador, habían esbozado la llamada “hipótesis china”, que postulaba que un número, n, es primo si, y sólo si, (2ⁿ - 2) es divisible por n, siendo n un entero superior a uno. Esto luego se demostró que era falso, ya que, por ejemplo, (2³⁴¹ –2) es divisible por 341 y, sin embargo, 341 no es primo, ya que es igual a 11*31 (* indica multiplicación). Este fallo, dado que estos sabios cuidaban la salud del emperador y le auguraban una larga vida, enfureció a éste, quien ordenó que, de momento, les cortaran las cabezas.

Se han descrito otras muchas fórmulas para descubrir números primos, que no mencionaré aquí. Un tipo especial de primos son los llamados de Mersenne, en memoria del monje teólogo, filósofo y matemático francés Marin Mersenne (1588-1648), quien en su Cognitata Physico-Mathematica escribió una serie de postulados sobre ellos, que sólo pudo refinarse tres siglos después. Los cuatro más pequeños eran ya conocidos por los matemáticos griegos. De ellos hablaré en mi próxima entrada.

De las Letras y de las Ciencias (2 de 5)

En mi entrada anterior contaba cómo la lectura de un artículo de un periodista, loando con toda razón la importancia de los estudios, y la mentalidad, de Letras para la comprensión del mundo, me ha inducido a escribir unas entradas sobre el también laudable y poderoso espíritu científico. Llueve un poco sobre mojado. En un libro mío, El error en las pruebas de diagnóstico clínico, me quejaba ya de cierta actitud un poco displicente que algunas personas adoptan frente a la Matemática, declarándose sin ningún reparo ignorantes, infradotados u olvidadizos en asuntos de números. No es tan frecuente, en cambio, que la gente se reconozca incapaz de sentir y gozar la poesía o la literatura, o lego total e irredimible en lo tocante a Shakespeare y su obra, por poner un ejemplo. Se tiene un cierto pudor para admitir esta limitación, mientras se confiesa sin empacho que lo de las matemáticas no se nos da bien, no es lo nuestro.

Sin embargo, el hombre es, inevitablemente, un homo matemáticus; como también es, claro, homo técnicus, homo fáber, homo séntiens, etc. No hay, no puede haber, una incapacidad invencible para la matemática, aunque incluso gente con muy amplia formación universitaria, bromee un tanto al respecto. Resulta, además, que vivimos rodeados de números: las direcciones, los teléfonos, los adeudos bancarios, los documentos, los pesos, las medidas, las declaraciones a Hacienda... Por encima de su utilidad, la Matemática es la ciencia de la exactitud, de la perfección, de la certidumbre. Las ciencias llamadas exactas han tenido tal éxito en la interpretación y control de la naturaleza, que se ha pretendido emplearlas en ámbitos en los que no está garantizada su pertinencia. Por ello, científicos eminentes, como Gregory J. Chaitin, hablan sin rubor de la necesidad de reconocer ciertos límites en su aplicación.

El carácter abstracto de la matemática demanda, para la comprensión de sus conceptos y axiomas, un desarrollo intelectual y cultural, impensable fuera de la especie humana. Algunos animales tienen un cierto sentido del número —no me puedo detener en esto—, pero la abstracción, el paso crucial por el que se descubre que dos piedras y dos caballos representan la concreción, en ambos casos, del número dos, de una “dualidad”, exige un desarrollo cerebral que sólo es hallable en el hombre. El ser humano ha procedido de lo concreto a lo abstracto. En ciertas culturas primitivas, por ejemplo, existen las palabras para designar todos los colores del arco iris, pero falta la palabra para designar el color, el color sin más, la calidad abstracta del color.

Igual ocurre en el caso de los números; en estadios muy tempranos de la evolución existen las palabras para los números más sencillos, pero no está presente la que designaría a cualquier número, el concepto de número. En estadios superiores se desarrolla esta capacidad de abstraer y se llega así a la matemática, que es un proceso en dos etapas. Los matemáticos no se ocupan del mundo directamente, sino que crean un modelo del mismo y este es el que estudian. No sólo los matemáticos de profesión: hacia los cuatro o cinco años, un niño para la operación de sumar no toma conjuntos separados de objetos y los reúne y los cuenta después, sino que usa abstracciones, utiliza un modelo, que ya le acompañará el resto de su vida: el conjunto de los números enteros positivos, 1, 2, 3, 4… Sobre la importancia de esa habilidad, de esa conducta, las inmensas posibilidades que abre para el desarrollo de nuestra inteligencia y nuestra capacidad de conocer el mundo, sobre esa maravilla del intelecto humano hablaré un poco más. Pero adelanto ya una conclusión: no hay Letras o Ciencias, hay Letras y Ciencias. Tenemos una mente así de espléndida, con algo menos de cien mil millones de neuronas, que sirven para las dos cosas, para todo.

De las Letras y de las Ciencias (1 de 5)

Leo con poco entusiasmo los periódicos y con gran cautela y desconfianza los cuadernos llamados culturales de los mismos. Cuando me fijo un poco más atentamente, puedo encontrar cosas levemente desconcertantes. Esta vez, aprendo una nueva palabra que quizá circula hace ya tiempo por los medios de comunicación y el lenguaje común, pero que para mí es nueva: letrasado. Un periodista, o una periodista —no recuerdo ahora, en lo sucesivo usaré el masculino—, afirma que en los institutos este término se ha hecho tristemente popular para designar a los estudiantes de Letras y es la continuación de una vieja invectiva: “el que vale, vale, y el que no ‘pa’ letras”.

El autor siembra profusamente la página con datos de erudición, cuyo principal objetivo, entiendo, es demostrar al lector que no está leyendo cosas de un cualquiera. Todos de actualidad, provenientes de muy diversos campos: literatura, historia, música, fotografía, comics, ensayo, etc., que conducen a una pregunta retórica, de retorcida sintaxis: ¿Cuánto hacen estas artes y estos oficios por que comprendamos mejor a nuestros semejantes, los que nos precedieron y los coetáneos? La respuesta se intuye encomiástica y de ahí nace una acerba crítica al hecho de que la asignatura de Literatura Universal se haya anticipado un curso en el calendario escolar, con grave daño para el conocimiento y aprendizaje de los discentes, ya que esta materia se daba antes en el curso en que, según los expertos, los alumnos están más preparados, más maduros, para apreciar en profundidad las novelas que dan una perspectiva amplia del mundo.

No negaré en modo alguno lo que suponen, como adelanta el autor, “la belleza y el arte para el no adocenamiento de la sociedad”. Avanza el autor —ya un poco más arriesgadamente, en mi entender— en este encadenamiento lógico, y cuenta que “los estudiantes de Humanidades son los más preparados para discernir dónde está la verdad y dónde el camelo”. Carga luego contra el Ministerio de Educación, “decidido desde hace años a borrar del mapa a los futuros pensadores y creadores”, por lo que “debiéramos nosotros rebelarnos, defender convencidos las materias que tan estrechamente ligadas están a nuestra libertad de pensamiento”.

Cuesta trabajo creer que el adelanto de un año en una signatura pueda ocasionar los graves trastornos denunciados y también que el Ministerio de Educación persiga tan sañudamente a los pensadores y creadores. Desprende el artículo un aromilla de highbrow self-complacency, encubridor quizá de algún complejillo mal resuelto. Es reveladora la asunción colectiva de la facultad de pensar y crear, que se desprende de esa algo cacofónica primera persona del plural: “debiéramos nosotros rebelarnos…”.

Frente a este canto a las Humanidades, que yo podría secundar perfectamente, como diré más tarde, traeré aquí una cita de Sir Francis Bacon (1561-1626): Pure mathematics do remedy and cure many defects in the wit and faculties intellectual; for if the wit be too dull, they sharpen it; if too wandering, they fix it; if too inherent in the sense, they abstract it (Las matemáticas remedian y curan muchos defectos de la inteligencia y facultades intelectuales; porque si el ingenio es demasiado romo, lo afilan; si demasiado movedizo, lo fijan; si demasiado pegado a los sentidos, lo hacen abstracto). Palabras que ensalzan las virtudes intrínsecas y poderosas del “pensar científico”, al que dedicaré unas próximas entradas, aunque retrase las de mi viaje a Las Hurdes y Granada. Nada es urgente en este blog y hace mucho tiempo que no fatigo a los lectores con mis queridos números. La devoción de un periodista por las Letras, me ha llevado a escribir algo sobre las Ciencias; en particular sobre la Matemática, esa bella desconocida.

Cuando es imposible determinar la justicia

En mi entrada del 19/11/2016 hablaba de la justicia y apuntaba que en algunos casos era imposible establecerla. Mencioné una vieja preocupación de los jugadores, ya en la época del Renacimiento: distribuir equitativamente las cantidades apostadas en el caso de que, por cualquier razón, se interrumpiera el juego, sin posible continuación. La indagación de este problema fue uno de los pilares sobre los que se empezó a cimentar la teoría de la probabilidad.

En el caso concreto que expuse —el de un juego de pelota a seis partidas que se suspende cuando el jugador A lleva ganadas cinco y B tres— ofrecí tres dictámenes distintos sobre la equidad en el reparto de lo apostado: Pacioli dice que, del total, cinco partes deberían ser para A y tres para B; Fontana piensa que cuatro partes para A y dos para B; Pascal y Fermat opinan que lo justo es siete partes para A y una para B. Los resultados son tan dispares, que he pensado que merece la pena elucubrar un poco sobre ellos. Adelanto, además, que ninguno es correcto, lo que hace del caso uno de aquellos en los que es imposible alcanzar la justicia con la razón. Recuerdo al lector que se trata de un juego de pelota, no de dados, no de azar.

Pacioli asume, en realidad, que el resultado final del juego, si se completara la partida hasta los seis juegos, reflejaría una situación análoga a la existente en el momento de la interrupción; por lo tanto el reparto ha de ajustarse a la razón de cinco a tres. Esto no tiene por qué ser así, ni jugando con dados, ni, menos aún, en un juego de pelota. La solución de Fontana implica, de manera implícita, que, si se llegara al final, A ganaría su sexta partida y el resultado definitivo sería 6 a 3, y así debe dividirse lo apostado (6/3 es igual a 4/2). Pascal y Fermat son más científicos, la teoría de probabilidad ha nacido ya, y su criterio,  repartir en razón 7 a 1, tan diferente de los otros, es el resultado de la aplicación de dicha teoría. En efecto, para que gane B, tendría que ganar las tres partidas que le quedan sin perder ninguna. La probabilidad de este suceso, que es un producto de tres sucesos, es 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8, lo que da para el suceso contrario una probabilidad de 7/8. Por ello el reparto justo sería de siete partes para A y sólo una para B.

Ahora bien, como apunté en mi anterior entrada, esto es verdad sólo asumiendo que el ganar A y el ganar B son equiprobables, siendo la probabilidad de cada suceso 1/2, ya que sólo hay dos posibles en cada partida. Pero también se podría pensar que la probabilidad de que gane A es 5/8 y la de B 3/8, según el tanteo en la interrupción; esta sería una asunción razonable. Y no olvidemos que se trata de un juego de pelota, en el que tales reglas no son aplicables y el jugador B puede perfectamente rehacerse y acabar ganando al jugador A por seis a cinco.

Traslademos esto a un partido de fútbol. Al terminar el primer tiempo el equipo A gana al B por cinco goles a tres y se suspende el partido. Lector, no hay manera alguna de predecir racionalmente el resultado final y sólo queda una solución: jugar hasta el final. Eso es lo que se hace, con muy buen criterio, en las competiciones reales: seguir jugando, con el equipo B haciendo quizá algún cambio en jugadores o táctica, para meter más goles que el contrario en la segunda parte. Eso es todo, lo de ser entrenador es de verdad muy fácil.  Y no hay manera alguna, en un juego de pelota, en cualquier juego que no sea de puro azar, de anticipar el resultado final y repartir las apuestas con justicia. Sí se puede hacer en los juegos de azar, con las pertinentes y verificables asunciones.

Sobre la elusiva, difícil o imposible justicia

La justicia perfecta quizá nunca sea alcanzable entre los hombres. No siempre pensé así. Hace apenas unos sesenta años, antes de que naufragaran bastantes de mis ilusiones y esperanzas respecto a la realidad, escribí: Es joven el que cree que en el mundo aletea, más o menos recóndita, la justicia; era yo entonces ingenuo y optimista. Pero aun hoy, sigo pensando que la mayoría de los seres humanos siente el anhelo, la necesidad de justicia.

Mis lecturas pueden enmarañarse y desembocar a veces en temas singulares. El de la entrada de hoy surgió leyendo algo de Ortega, que me remitió al granadino Jerónimo de Barrionuevo de Peralta, poeta, dramaturgo y gacetillero del siglo XVII. Estudió en Alcalá y Salamanca y tuvo una juventud turbulenta; después se sosegó y ya en 1622 era tesorero en la catedral de Sigüenza. Compuso casi mil poemas de muy variados estilos y contenido, y hasta cinco comedias. Vivió luego en Madrid, desde donde escribió cartas al Deán de Zaragoza, conservadas en el manuscrito 2397 de la Biblioteca Nacional, en las que da información valiosa sobre los usos y costumbres de la villa, sus fiestas, celebraciones y supersticiones. Fueron impresas en 1892 por A. Paz y Melia, como Avisos de Jerónimo Barrionuevo (1654-1658) y hay ediciones posteriores. Allí encontré lo que contaré al final; ahora me permitiré un breve exordio sobre el ansia, la inquietud humana por la justicia.

Fra Luca Pacioli, nacido en 1445, enseñó matemáticas en diversas ciudades de Italia, hasta llegar a Milán, a la corte de Ludovico Sforza el Moro, donde coincidió con Leonardo da Vinci, ilustrador de su De divina proportione (Venecia, 1509). Pero el libro más importante del fraile fue la Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e proportionalitá, publicado en Venecia, en 1494 y muy estudiado en toda Italia. En dicho libro, se recoge un problema del reparto justo de las apuestas, en caso de interrupción del juego, que había obsesionado a generaciones enteras. Esta indagación y el de la equidad de cualquier apuesta, fueron los dos pilares sobre los que se levantó buena parte de la moderna teoría de la probabilidad.

El caso de Pacioli es: Dos jugadores, A y B, juegan a la pelota y apuestan sobre quién será el ganador en seis juegos. Un imprevisto obliga a interrumpir la partida, cuando A gana cinco juegos y B tres. ¿Cómo se ha de dividir la cantidad apostada, para hacerlo en justicia? Pacioli dice que en 5 y 3 partes del total, como los juegos que han ganado los contendientes. Niccolo Fontana, el Tartaglia, más de medio siglo más tarde, en su Trattato di numeri et misure, publicado de 1556 a 1560, sugiere que, puesto que para ganar hacen falta seis juegos y A lleva a B una ventaja de dos (la tercera parte) es justo que, además de su apuesta, se lleve la tercera parte de la de B; o sea, cuatro partes para A y dos partes para B. Transcurrieron casi cien años hasta que Pascal y Fermat, llegaron a la solución ‘correcta’ de repartir en razón de 7 a 1. Para ello, consideran todas las alternativas posibles, si no hubiera suspensión y se continuara el juego; o sea, la posibilidad de que A gane el juego que le falta, frente a la de que B gane tres juegos seguidos. Deducen así el reparto justo de lo apostado. Esto es sólo correcto, lector, asumiendo la equiprobabilidad de ganar cada juego para los dos jugadores.

Resumo ahora lo leído en Barrionuevo. Cuenta este que prendieron a un hombre que abofeteaba a una mujer y los dos fueron llevados a la cárcel. El hombre se explicó: Señores, soy casado, con seis hijos. Salí desesperado de casa, por no poderlos sustentar, y esta mujer me llamó y me ofreció un doblón de á cuatro si condescendía con ella y la despicaba (desahogar, satisfacer, DRAE); un escudo de oro el precio de cada ofensa a Dios. Gané tres, desmayando al cuarto de flaqueza y hambre. Quísome quitar el doblón y no pudo, y á las voces llegó este alguacil que está presente, y tuvo mejores manos para hacerlo. Suplico á V. S. diga ahora ella si esto es verdad ó mentira. La cual allí en público dijo ser todo así, y visto por la Sala, in continenti la hicieron volver el doblón de á cuatro al hombre, al que le echaron libre y sin costas la puerta afuera; y á ella la mandaron tornar a su encierro para quitarla el rijo con algunos días de pan y agua.

Analizar la equidad y justicia de esta resolución es más fácil que en el caso del juego. No se habla del tiempo concedido al varón para su tarea, pero se entiende que fue breve, que el hombre tendría urgencia en volver a su casa y dar de comer a la prole. Se entiende también que la dama no sería una beldad, al tener que recurrir al pago por el encargo; aunque sí honrada, que se ratificó en lo acordado con el caballero. Considerando que tres desfogues parecen suficientes y no tan distantes de los cuatro apalabrados, juzgo pertinente la decisión de los jueces. Eso, sin contar que la calidad cuenta muchas veces más que la cantidad. De la calidad no se habla, aunque se supone buena por solicitar la mujer con vehemencia la cuarta función. En fin, la sentencia me parece imparcial y justa.

Sobre los criptogramas numéricos

Recién nacido este blog, en mi entrada del seis de diciembre de 2013 mencioné el cuadrado o escudo con dieciséis casillas —esculpido en la fachada de la Pasión de la Sagrada Familia de Barcelona, obra del escultor José María Subirachs—, en las que hay números con una particularidad: sumando las filas, las columnas o las dos diagonales principales, se obtiene siempre la cifra 33. Señalé entonces que en un libro del jesuita alemán del siglo XVII, Atanasio Kircher, ya aparecen estos criptogramas y se afirma que fueron ideados por los “sabios antiguos”, sin mayores precisiones.

En este de la Sagrada Familia los números no son correlativos y dos de ellos se repiten, con objeto de que la suma sea 33, la edad de Cristo. Trabajo quizá innecesario, puesto que nadie sabe con certeza la edad a la que murió Cristo y muchos cristólogos postulan que debió de ser más bien con 36 o incluso 39 años, basándose en datos históricos y astronómicos, relacionados con las reglas por las que se regía la celebración de la Pascua judía. En el cuadrado mágico clásico de dieciséis casillas los números sí son correlativos y la suma de filas, columnas y diagonales es 34, no 33

Así es el que figura en el célebre grabado Melancolía I, de Alberto Durero (ver foto), donde otras combinaciones de casillas también suman 34 (las cuatro centrales, las de las esquinas, etc.); las centrales de la última fila dan el año en que se compuso el grabado: 1514. Este cuadrado 4x4, de dieciséis casillas, es el llamado sello de Júpiter. El de 3x3 es el consagrado a Saturno. Los sucesivos, a partir del 5x5, están dedicados a Marte, el Sol, Venus, Mercurio y la Luna, como recoge Cornelius Agrippa en De oculta philosophia libri tres, de 1533.

Para concretar lo de los “sabios antiguos” de Kircher, contaré que estos cuadrados mágicos ya se conocían en China desde el tercer milenio a. C. Según la leyenda Lo Shu, el río Lo se desbordó y los pobladores de la zona hicieron ofrendas al dios del río para calmarlo —algo malo habrían hecho—, pero una tortuga que andaba por allí se acercaba a ellas y las rechazaba. Hasta que un niño se dio cuenta de que en su caparazón estaba marcado el sello de nueve casillas, con sus números que suman 15. Se tuvo esto en cuenta y se remansaron las aguas. Mano de santo. Los dioses son caprichosos muchas veces.

Empecé esta entrada porque quería completar lo ya escrito sobre los criptogramas numéricos y hablar de los de letras; lo haré en la próxima. Dan menos juego que los de números y para confirmarlo añado un curioso criptograma de nueve casillas, de números no correlativos. Con las reglas ya conocidas, la suma es 369. Curiosamente, si se suma el número de letras que componen los nombres de dichas cifras en castellano (noventa y tres, son 12 letras, etc.) —están en el cuadrado inferior—, esa suma, con las mismas reglas, es también constante: 48. Esto ya es apotropaico, es pura magia, y tiene que servir para algo: para no morir nunca —qué horrible—, para tener éxito con las mujeres…, no sé. Cuando lo sepa bien, lector, te lo haré saber, que no soy tan egoísta.

93	155	121
151	123	95
125	91	153

 

 

 

12	21	15
19	16	13
17	11	20

 

 

 

 

De números grandes, de la divina proporción

Palabras clave (key words): Gúgol, Universo, biblioteca de Borges, Luca Pacioli.

Uno de los grandes números más conocidos es el llamado Gúgol, que tiene mi edad, ya que fue en 1938 cuando lo definió el matemático americano Edward Kasner, con el nombre que le dio su sobrino Milton, de nueve años. Su valor es 10^100, un uno seguido de cien ceros. En mi entrada del 5/1/2016, hablando sobre la probabilidad de un empate en una votación, escribí cantidades mucho mayores, como 1.914563504E+910, en donde figura un uno seguido de 910 ceros. Hablaré hoy de un acertijo frecuente entre matemáticos: ¿cuál es el número más alto que se puede escribir con sólo tres dígitos?

La respuesta es así: con tres nueves, escribiendo 9^9^9 (el signo ^ quiere decir potenciación) se obtiene el número 1.966270505E+77. Es lo mismo que 9^81, ya que 9*9=81 (el asterisco indica multiplicación). ¿Incómodo con estas cifras? ¡Bah!, yo, modestamente, me manejo con estos números como si hablara de docenas de huevos, con la misma facilidad. Lector, un momento, antes de seguir: no me creas todo lo que te digo. Ahora bien, si escribo 9^(9^9), con un paréntesis, entonces la cosa cambia. Porque no se trata de elevar 9 a la potencia 81, sino a la (9^9). O sea, 9^387420489. Esto ya es un número de 370 millones de dígitos. Tampoco son tantos, ¿verdad? Una futesa.

Para ir clarificando un poco, hablaré de cosas más concretas y diré el número de átomos que hay en el Universo. Diversas estimaciones lo cifran en unos 10^80, mucho menos de un gúgol. Pero no hay que fiarse, porque la materia oscura (~25 %) y la energía oscura (~70 %) dejan sólo un ~5 % de materia ordinaria, visible (bariónica). En todo caso, 9^387420489 excede cualquier cálculo de las partículas del Cosmos. Es que el Universo, en cierto sentido, es pequeñito, comparado con otros reductos imaginados por el hombre, y además está casi vacío. Borges soñó una biblioteca con libros de 410 páginas y cuarenta líneas de ochenta caracteres; o sea, 1312000 símbolos cada libro. Como hay 25 símbolos distintos para cada carácter (22 letras, el punto, la coma y el espacio), el número de libros posibles es 25^1312000, igual a 1.956*10^1834097, o, en notación científica, 1.956E+1834097. Cifra impensable, desconcertante, pero de ningún modo infinita; una pamema para cualquier Dios que se precie.

Entre esos libros habrá uno sin letra alguna, en blanco, y otros que tendrán sólo una letra. Otros repetirán la misma letra de principio a fin. Otros no tendrán puntos ni comas, como algunos de narrativa ‘moderna’. Muchos no tendrán sentido, pero todas las grandes obras escritas por el hombre estarán allí. Esta entrada, desgraciadamente, no estará. ¿Sabes por qué?, lector. Porque tiene números y Borges no los consideró.

Esta amenazante entrada empezó a fraguarse esta mañana, al leer en alguna parte que las tarjetas de los bancos, dinero plástico que llaman, tenían dimensiones de acuerdo con la razón áurea. Si veo algo así tengo que comprobarlo con urgencia; no lo puedo evitar, cada uno es como es. Lo hice y no es verdad, sus medidas no son las de la razón áurea. Pero ya me metí en números y me perdí. Digo dos palabras más sobre esto y acabo.

Un segmento puede dividirse en dos, a y b, de tal manera que el cociente entre la longitud total (a+b) y la del más largo (a), sea como la de a al más corto, b. Y esa razón, que se designa con la letra griega Φ (phi), por el escultor griego Fidias, que la utilizó en sus obras, se dice que dota de una especial elegancia o belleza a las figuras que la cumplen. Longitud y ancho de las tarjetas bancarias se acercan a esa proporción áurea, pero no exactamente. Claro que, una tarjeta de esas ‘black’, con crédito ilimitado y gratuito, también tiene su gracia y su aquel. Φ vale 1.618…, y es un número irracional con infinitos decimales. Su inverso, 1/Φ, es igual a 0.618… y Φ^2 es 2.618…, y los decimales son los mismos siempre. De razón o proporción áurea, número áureo, divina proporción, etc., está llena la Red. Pregunta allí por Luca Pacioli, un fraile franciscano del XV-XVI, que escribió De divina proportione, un libro, ilustrado nada menos que por el mismísimo Leonardo, que yo he mencionado en alguna ocasión.

Probabilidad del empate en votos, del amanecer…

Palabras clave (key words): coeficiente binomial, modelo de Laplace, Thomas Bayes.

He escrito en alguna ocasión que lo que realmente amo son los números. Hay una cierta exageración en esto, pero es bastante verdad. La matemática es la exactitud, la certidumbre, un paraíso sin la serpiente de la duda. Buena parte de mi vida la dediqué a evaluar y explicar, por medios matemáticos, la incertidumbre en el diagnóstico.

Las gentes confiesan sin pudor que no recuerdan el teorema de Pitágoras, aunque no reconocerían fácilmente no haber leído el Quijote. Ahora, con motivo del empate en las votaciones de un partido político catalán, la CUP, han circulado por la red y algunos periódicos notorias inexactitudes sobre la probabilidad de tal resultado, de personas de distinta formación, hasta profesores. Esto me lleva a escribir un poco sobre el asunto, quebrantando una vez más mi propósito de tocar temas más bien risueños y llevaderos. Me gustaría resumir algunos detalles pertinentes.

El empate (1515 vs 1515) no era imprevisible; su probabilidad es baja (~1.45 %), pero es el resultado más probable de todos los posibles. Un suceso puede ser poco probable y ser, no obstante, el más probable de un conjunto. Diré, para explicarlo, que hay una sola manera de que todos los votos sean positivos, solo una. Por el contrario, hay muchas de llegar al empate, lo que lo hace mucho más probable. ¿Cuántas maneras? Las he calculado y son 1.914563504E+910, en notación científica. ¿Se entiende esto? Es muy fácil, imagínate, lector, un uno seguido de 910 ceros…, pues casi el doble. Fácil, ya dije. La probabilidad de cada una es muy pequeña, 7.5703E-913 (asumiendo los votos equiprobables, sin nulos, etc., lo que se ajusta al resultado de la votación). Ya se entiende mejor, ¿verdad? Ahora tienes que multiplicar las dos cantidades; esto sí que es fácil, de verdad. Hazlo. El resultado es 14.49E-3; o sea, 0.01449 (~1.45 %).

Este porcentaje ha sido recogido en algún periódico y se calcula fácilmente; basta con obtener los factoriales de 3030 y 1515 y calcular el llamado coeficiente binomial. Multiplicándolo por 0.5 elevado al exponente 3030, se tiene la probabilidad buscada. Pero también aparecieron en la prensa cifras inexactas, como 0.033 %, por ejemplo. Porque alguien recurrió a la “llamada regla de Laplace” que no es aplicable, ya que, si bien el voto singular, el de cada votante, es equiprobable en este caso, los resultados de las votaciones totales no lo son.

Deberían haber hablado del “modelo de Laplace” —la regla, teorema o desarrollo de Laplace es otra cosa—. Este modelo es el que da la probabilidad 0.00033 (1/3031). Muy fácil, pero muy erróneo. La vida es así. Del genial Laplace, el Newton francés, sólo diré que con su “regla de sucesión” enseñó a calcular la probabilidad de que amanezca, igual a (d +1) / (d +2), siendo d el número de días que amaneció hasta ahora. La edad de la Tierra es de unos 1 642 500 000 000 días, por lo que la probabilidad de que amanezca mañana es 0.99999999999939. La de que no amanezca, 0.61E-12; o sea, menos de uno por billón. Mañana amanecerá, casi seguro; habrá que comprar pan.

Claro que podría ser que amaneciera para los demás y no para uno. Y hasta se podría pensar que, a cierta edad, los amaneceres ya no son como antaño. Un escritor español joven, menciona en una de sus obras a “un anciano, un jubilado en espera de la muerte”. Los habrá, lector, pero también te digo que se pueden tener los más gozosos amaneceres de la vida. Con la libertad de hacer cada día lo que quieras, sin plazos, sin obligaciones, casi sin rencores, con tiempo para disfrutar como antes, más que antes.

         Con lo del empate, hubo también quién habló de probabilidades bayesianas, que no vienen a cuento —cosa c’entra?, que diría un romano del Trastévere—, aunque sean perfectamente válidas en otras situaciones. Thomas Bayes (1702-1761), ministro anglicano, estableció las bases para la inferencia de probabilidades, con un algoritmo que permite adecuar su estimación a nuevos datos o evidencias. No era el caso aquí.

Los señores Mas y Baños, por los que siento una ilimitada admiración intelectual, no corrigieron estos errores. Estaban muy ocupados; si no, lo habrían hecho.

De las notas musicales y teclas del piano

Palabras clave (key words): Guido d’Arezzo, notas musicales, frecuencias del piano.

En mi anteriores entradas mostré vínculos para música del Padre Antonio Soler (1729-1783). En cualquier enciclopedia se puede consultar su vida y obra. Y, de paso, leer sobre el italiano Domenico Scarlatti (1685-1757), que vivió los últimos veinticinco años de su vida en Madrid, a donde vino por haber enseñado música a la princesa portuguesa Bárbara de Braganza, que casó luego con Fernando VI de España. Y buscar algo sobre Luigi Boccherini (1743-1805), italiano de Lucca, que llegó a España por amor, persiguiendo desde Paris a Clementina Pelliccia, que venía a nuestro país con la Compañía de Ópera del boloñés Luigi Marescalchi. Boccherini vivió aquí desde los veinticuatro años hasta su muerte, nombrado violoncelista y compositor de la capilla real del infante Luis Antonio. Los tres músicos forman un destacadísimo grupo de compositores de la España del siglo XVIII, con formas y estilos parecidos.

Querría decir algo muy elemental sobre los nombres de las notas musicales: do, re, mi, fa, sol, la, si. Provienen del siglo XI, cuando el monje benedictino Guido d’Arezzo, que creó un sistema de notación musical bastante similar al actual, las tomó de las primeras sílabas de los versos de un himno a San Juan Bautista, Ut queant laxis, escrito por otro monje benedictino del siglo VIII, Pablo el Diácono. Al principio eran seis notas y luego se añadió la nota Si. En el siglo XVII, se cambió la Ut por Do. La notación musical en el mundo anglosajón, en cuanto a los nombres de las notas, es totalmente diferente. Comenzando la octava en la nota La, a esta se le asigna la letra A y luego van las siguientes letras del alfabeto: B (Si), C (Do), D (Re), etc.

Quizá es menos conocida la relación entre las frecuencias de las distintas notas y, sin embargo, se trata de un asunto muy sencillo. Entre esas notas, la diferencia es un tono, excepto entre Mi y Fa, y entre Si y Do, que es un semitono. En un piano, las teclas blancas corresponden a esas notas. Ahora bien, entras las teclas separadas por un tono, hay otras teclas, negras, que son un semitono más alto que la nota blanca anterior. La tecla negra entre el Do y el Re es el Do sostenido, etc.

Un piano de 88 teclas, los más corrientes, tiene siete octavas; es decir, siete grupos de doce teclas (siete blancas y cinco negras), más una tecla blanca al final y tres teclas (dos blancas y una negra) al principio. 7 x 12 = 84 + 4 = 88. En un piano ideal, la frecuencia teórica de cualquier tecla de uno de esos grupos es justamente el doble de la tecla homónima del grupo u octava anterior. La frecuencia La4 (el La de la cuarta octava) es el doble de La3 (el La de la tercera octava).

Y la frecuencia de cada tecla, considerando las blancas y negras juntas, es igual a la frecuencia de la precedente multiplicada por la raíz duodécima de 2, que es igual a 1,05946… La nota La4, que está en la posición 49 del teclado, al afinar se ajusta a la frecuencia 440 Herz (ciclos por segundo). La frecuencia del La4# (el La sostenido, la tecla negra entre La y Si) es 440 x 1,05946… La frecuencia de la tecla en la posición n del piano es: f(n) = 1,05946 ^n-49 x 440 Herz. O, si se quiere, 2 ^(n-49)/12 x 440 Herz.

La tecla que corresponde a una determinada frecuencia (f) del piano es:

n = 12 x log₂ (f / 440) + 49.

No hay por qué asustarse. Los logaritmos de base 2, o logaritmos binarios, muy utilizados en informática, teoría de la información, etc., son muy fáciles de calcular, con cualquier calculadora científica elemental, porque ocurre que:

log₂(n) = log₁₀(n) / log₁₀(2). Y también, log₂(n) = ln(n) / ln(2), donde ln quiere decir logaritmo neperiano. Esta entrada tiene números; ya sabéis que me gustan.

¿Se mueve realmente la Tierra?

Escribí en mi entrada anterior que la Tierra giraba como un trompo que estuviera parándose. No era el momento de andar con disquisiciones y admití sin más lo del movimiento de nuestro planeta. Ahora, lector, te confiaré mis dudas, que ya expresé al empezar este blog. Copiaré lo que decía en la segunda entrada del mismo: “Te contaré mis fundadas razones para defender la inmovilidad de la Tierra, frente a tantas suposiciones erróneas”. Pues ha llegado el momento.

Las gentes son muy crédulas y se dejan llevar por la corriente, sin ocuparse ni poco ni mucho en pensar. Si les dicen que los niños vienen de París o les cuentan maravillas sobre los Reyes Magos, se lo creen a pies juntillas y no se les ocurre disentir durante años. Alguna cambió de opinión sólo al notar que estaba embarazada.

La Tierra se mueve, dicen todos. Y te pregunto yo, lector, ¿notas tú que se mueva? ¡Anda que no se nota cuando se mueve una cosa! Recuerda cualquier viaje en coche, en tren, en barco… ¿Sientes tú algo parecido, fuera o dentro de casa? Y, según afirman, la Tierra no para ni un momento, aunque estés tranquilamente en tu cama. ¿Tiene eso sentido, se puede sostener que estemos tan en continuo movimiento?

Algo de números, que ya sabes que me gustan. En una latitud de 40º, el paralelo tiene una longitud de unos 30.640 km (40.000 km, que es la circunferencia ecuatorial, por 0,766, que es el coseno de 40º). Cualquiera en esa latitud, y sólo por la rotación de la Tierra, se movería ya a una velocidad de casi 1.300 km/h. Eso no es nada, hay aviones que van más rápidos. Pero, por el movimiento de nuestro planeta alrededor del Sol y asumiendo una órbita elíptica no muy excéntrica, hay que sumar a esta velocidad otra de unos 107.000 km/h. Eso ya es bastante más. Además, resulta que nuestro sistema solar entero gira alrededor del centro de nuestra galaxia, que está a unos 28.000 años luz en la dirección de Sagitario, tardando unos 240 millones en una vuelta (hemos dado ya unas veinte desde el nacimiento del Sol). Haced las cuentas de este último movimiento o consultad una enciclopedia: la Britannica señala una velocidad de 792.000 km/h. En total, unos 900.000 km/h.

La Tierra tiene otros movimientos, pero añaden muy poco a los cálculos anteriores: el de precesión de los equinoccios, el de nutación y el conocido como bamboleo de Chandler, de los que no diré nada más. Hay que contar, ese sí, el debido a la expansión general del Universo, mucho más difícil de cuantificar. En resumen, sin considerar el último, nos desplazamos todos a una velocidad próxima al millón de km/h. Lector amigo, ¿te lo crees tú?

El astrónomo Ismaël Boilliau, autor de la Astronomia Philolaïca, en 1645, la obra más importante entre Kepler y Newton, aún defendía el movimiento de la Tierra, porque no era creído por mucha gente, incluso astrónomos. Esto, un siglo después de la publicación de De revolutionibus orbium coelestium (Sobre las revoluciones de las esferas celestes), de Copérnico, cuyas ideas circularon antes en su opúsculo De hypothesibus motuum coelestium a se constitutis commentariolus, no editado hasta 1877. En mi ya citado relato De la Fortuna y el Tiempo, sugiero con fundamento que Carlos V tenía ese manuscrito en Yuste y se lo regaló a Juanelo Turriano al morir.

Hasta los astrónomos de mediados del siglo XVII desconfiaban. Como sigue ocurriendo ahora, entre las gentes con sentido común, que cada vez somos menos. La Tierra se mueve... ¿Por qué, desde cuándo? Yo no la veo moverse y tampoco noto ningún movimiento. Pues, entonces. Si eso se le había ocurrido ya a un griego, un tal Aristarco de Samos (310 – 230 a. C.), según contó Arquímedes, y nadie le hizo caso en aquellos tiempos dorados. Los pitagóricos parece que sí lo creían, pero eran tipos bastante extraños, que no comían carne ni habas, ni usaban prendas de lana, etc. Pasaron luego unos dos mil años y nadie se acordaba de todo eso, porque las gentes de entonces tenían más sesera y no creían las cosas tan fácilmente como ahora, que parecemos bobos y nos tienen como atontados con la televisión, que es la que tiene la culpa de todo.

Del pasado y de números

Siempre dije que amaba los números, que soy sensible a su poder y hasta a su magia. Ofrecen una vía para abordar el mundo, para desvelar sus misterios, que es única y eficacísima. Me gusta estudiarlos, mencionar sus propiedades o exponer sus secretos. La parte más personal de mi actividad profesional la dirigí a maximizar el rendimiento diagnóstico, mediante algoritmos apropiados, de las exploraciones médicas que tienen resultados numéricos. Como hablé recientemente de mi padre y de los problemas que me ponía de niño, recojo aquí uno, del que me acuerdo muy nítidamente. El enunciado tiene la inocencia de los que ya conté y se encuentran en el libro del matemático indio Bhaskara, del siglo XII, de título Lilavati, el nombre de su hija. 

“Un hombre es atropellado por un coche que se da a la fuga. Cuando la policía le pregunta por detalles del vehículo, la víctima contesta que no sabe. Sólo recuerda que la matrícula tenía seis dígitos, el primero de los cuales era un uno. Y que si se ponía ese uno al final, el nuevo número era el triple del primitivo”. Sagaz y excelente calculador el atropellado, que resultó casi ileso. No quiero que se preocupe nadie por él.

Siempre que lo cuento, incluso ya de mayor, trato de enfatizar que de las seis cifras de la matrícula sólo se conoce una, la primera. Y que quedan por averiguar las otras cinco; que hay cinco incógnitas. Lo digo por si cuela; es una mentira muy gorda. Las cinco cifras forman un solo número y hay una sola incógnita. Aplicando una ecuación, la solución es inmediata. La escribo, lector, por si formas parte de la inmensa legión que olvidó cuidadosamente sus matemáticas. Es muy fácil:

(100000 + x) * 3 = 10 * x + 1      (el asterisco indica multiplicación).

Resolviendo la ecuación, el número es: 142857. En efecto, cambiando el uno de la primera posición a la última, queda 428571, que es el triple de 142857.

A los once o doce años, yo no sabía nada de ecuaciones, claro. Pero es fácil deducir que, como el nuevo número ha de acabar en 1, el último del original ha de ser forzosamente 7 (al multiplicarlo por tres, da 21, que termina en 1). Siguiendo de atrás a adelante, por la ‘cuenta de la vieja’ se van hallando los dígitos sucesivos. Y así los calculé, poco a poco, para satisfacción mía y no digamos de mi padre. Por todo ello, cuando alguien le dijo que yo no era de los más torpes en la escuela (en esto pudo muy bien equivocarse), se animó a darme estudios, sin dudas o titubeos. Influyó mucho la educación que mi padre, un trabajador sencillo, había recibido de los escolapios, antes de que dejaran Úbeda en 1920, porque el Ayuntamiento no pagaba lo necesario para la conservación del antiguo convento trinitario, adyacente a la Iglesia de la Trinidad, en donde estaba la escuela. Si alguien quiere saber algo más, puede leerlo en la excelente Historia de Úbeda, de Juan Pasquau.

Es un recuerdo del pasado, que explica cómo fue fácil, nacido en una familia modesta, encarrilar mis pasos hacia los estudios desde el principio. Quizá el proceso de mejora social es lento y puede llevar más de una generación. También digo que, en el fondo, el cambio de estatus social no deja de ser una pamema y nada importante cambió en mí, desde mi niñez hasta ahora. Y fin, que partimos hacia la bella Galicia.

Belleza, arte, Schoenberg y triskaidekafobia

Me acerco a las cien entradas del blog y el azar me lleva a insistir sobre una de sus ideas centrales. Leo una anécdota de Arnold Schoenberg, cuando un magnate de la industria de Hollywood trató de halagarle, diciendo que su música era deliciosa —es la traducción que escojo aquí para lovely—. Schoenberg le replicó inmediatamente: “mi música no es deliciosa”. La historia viene en Art and the arts, de Theodor W. Adorno.

No soy un experto en música, pero doy decididamente la razón al célebre músico en cuanto a su obra, a la reducida parte de su obra que he podido conocer. Schoenberg, también un apreciable pintor, propuso y defendió cambios en la estructura tonal de la composición musical, desarrolló la técnica dodecafónica y fue extraordinariamente influyente en la cultura musical del siglo XX. Su original estilo no fue entendido por todos. Maurice Ravel, según cuenta Alma Mahler en su libro Mein Leben (Mi vida), afirmó: Non, ce n'est pas de la musique... c'est du laboratoire (No, esto no es música, esto es cosa de laboratorio).

Traigo aquí a Schoenberg como paradigma de una cierta manera de entender la creación artística. Para él lo importante en una obra de arte es la pura aportación del artista y el placer del espectador no debe ser un objetivo en ningún caso. Lo que cuenta es la perfección de la obra en sí, su harmonía interna, la propia satisfacción del creador. Richard Taruskin, un musicólogo americano nacido en Nueva York en 1945, califica esta idea como una pura ‘falacia poyética’.

En mi modesta opinión, lo que resulta obligatorio es la creación de belleza, una belleza que pueda ser percibida y gozada por el espectador. Naturalmente, habrá casos en que se requiera una especial formación de este y admito que no todas las obras son para todos los públicos. Lo que me resulta inadmisible, en una obra de arte, es que esté orientada a la mera y simple distracción del público, a hacerle pasar el rato. Eso puede existir, no está prohibido, pero no es arte.

Schoenberg es uno de los casos más conocidos de triskaidekafobia. Con ese nombre tan raro —tan sencillo también: es el número trece en griego y el término fobia. O sea, temor al trece— se designa una extendida superstición, presente en muchas culturas, que considera nefasto dicho número. En el caso de nuestro músico, la fobia era extrema. Se piensa que hasta pudo tener algo que ver con su muerte real.

Tenía pavor a los años múltiplos de 13. Ya en 1939 —en realidad, 1939 no es múltiplo de 13, aunque 39 sí lo sea, pero los supersticiosos no suelen ser muy científicos— estaba tan preocupado que para tranquilizarse encargó un horóscopo, en el que el astrólogo le certificó que sería un mal año, pero no fatal. Para esa predicción no hace falta ser astrólogo, ¿verdad?

En 1950 Schoenberg tenía 76 años y un amigo —para eso están los amigos— le avisó de que sería un año crítico, porque 7 + 6 = 13. Lógico, ¿no? El músico no había pensado en ello, pero ya sí lo hizo. De forma que el día 13 de julio de 1951, con setenta y seis años, y viernes —ya sabe todo el mundo que en USA el día nefasto es trece y viernes, no martes— estuvo todo el día en cama, angustiado y deprimido. Eran las 23.45, su pobre esposa Gertrud se decía que ya casi había pasado lo peor, cuando Schoenberg, tras un ruido extraño en su garganta, murió de repente. Todo muy triste, como en cualquier muerte. Pero aquí más dramático y hasta turbador.

Arnold Schoenberg había nacido un día trece y murió también un día trece. Pero nacer no es nada aciago. Y en muchas ocasiones, morirse, seguramente tampoco.

Merrill M. Flood y el problema catalán

Lector, llevo ya tiempo escribiendo de amores y literaturas y cumple hablar también de números, de algoritmos, de lógica. Son temas interesantes y están cada vez más presentes en la realidad. Vivimos en un entorno digital, en el que quizá algún día los números constituyan la forma habitual de comunicación en muy diversas áreas.

Merrill M. Flood fue un matemático estadounidense que, junto con Melvin Dresher, ideó en el año 1950 un problema lógico, conocido más tarde como ‘Dilema del prisionero’, que forma parte de la llamada teoría de juegos o, en un marco más amplio, teoría de toma de decisiones. Me referiré sólo al problema y de la manera más breve.

Un policía detiene a dos sospechosos de robo, sin pruebas firmes, aunque los dos portaban revólver. Les hace, por separado, sin que puedan comunicarse entre ellos, la siguiente propuesta: Si confiesas contra tu cómplice, quedas libre y él será condenado a diez años de prisión. Si él también confiesa contra ti, serán cinco años para cada uno. Si ninguno confiesa, la condena es de seis meses de cárcel por tenencia ilícita de armas.

Cada uno de los detenidos decide acusar al cómplice, porque cree que es la estrategia más segura. Piensa que si no lo hace, y el otro le acusa, puede ser condenado a diez años. Acusándole, puede quedar incluso libre, si el otro no le acusa. En el peor de los casos, si el otro también acusa, tendrá una pena reducida de cinco años. Es, sin duda, la decisión menos arriesgada.

— Fray Gerundio, fray Gerundio…

— Dime, hijo.

— No se le habrá ido un poco la cabeza, si me permite decirlo. Porque, ¿qué tiene que ver todo esto con el problema catalán?

— Pues mucho. Ten un poco de paciencia, espera y no me interrumpas.

Lector, te habrás dado cuenta de que la estrategia de confesar es la apropiada…, sólo hasta cierto punto. Porque sería mucho mejor que ambos negaran el hecho y fueran condenados a una pena única de seis meses de cárcel por tenencia de armas. O sea, lo mejor sería no confesar, si uno confiara en que el otro va a hacer lo mismo. ¿No es así? Por supuesto, aquí no se consideran los aspectos morales del asunto.

— Fray Gerundio, eso también está claro. Pero, perdóneme, ¿qué tiene que ver esto con el problema catalán?

Lector, te contesto a ti y a mi interlocutor invisible. Esta solución óptima, la de no confesar ninguno de los dos, requiere que los dos hombres puedan hablar y comunicarse sinceramente sus planes. O que cada uno confíe en la inteligencia, el buen sentido del otro. Como reza el dicho: hablando se entiende la gente… y además se hacen amigos.

Comprendo que la relación del problema lógico del ‘Dilema del prisionero’ con el contencioso catalán no es nada inmediata. En realidad, esto último lo traigo aquí porque me tiene bastante preocupado. La gente parece no contemplar ningún escenario excesivamente pesimista y confiar en que todo se resolverá sin grandes estridencias. Yo pienso que cuando en la solución de los problemas se involucra a los pueblos, a las masas, nada está garantizado y se desatan procesos que se sabe cómo empiezan pero no cómo acaban. Los ejemplos que estamos viendo ahora mismo en Europa no son nada alentadores. En todo caso, haré constar, por si ayuda a justificar el título de mi entrada, que Flood aplicó sus técnicas a la solución de problemas públicos y del sector militar.^[

¿Es infinita la Biblioteca de Babel?

Como otras veces, quedan cabos por atar. En mi entrada anterior escribí que la Biblioteca de Babel no era infinita. Aduje entonces lo que se dice en el propio relato, al mencionar un espejo que duplica las apariencias: los hombres suelen inferir “que la Biblioteca no es infinita (si lo fuera realmente, ¿a qué esa duplicación ilusoria?)”. Ahora, releyendo más atentamente, ya no estoy tan seguro. Me explico.

Porque también se lee que “la Biblioteca se compone de un número indefinido, y tal vez infinito, de galerías hexagonales”. Y un poco más adelante, cuando el narrador habla de su muerte, detalla: “Mi cuerpo se hundirá largamente y se corromperá y disolverá en el viento engendrado por la caída, que es infinita”. En fin, en otro momento se puede leer: “Yo afirmo que la Biblioteca es interminable”.

Interminable vale por infinita. Como se ve, también hay razones para abogar por un Biblioteca infinita. Quizá pueda confundir el hecho innegable de que los libros sí son finitos, numerables —1,956*10^1834097—, como ya hice ver. Podría tratarse entonces de una Biblioteca infinita, ocupada por un número de libros finito, enorme, inconcebible. Aun así, la parte vacía de la Biblioteca sería infinita, como la Biblioteca misma.

El número de lenguajes que existen en la biblioteca tampoco es infinito. Si cada lenguaje es definido por su vocabulario y sus reglas gramaticales, los veinticinco símbolos del alfabeto pueden dar lugar a muchos lenguajes diferentes, pero siempre en número limitado, porque el número de combinaciones de los citados símbolos no es infinito. Esos lenguajes existen de hecho y Borges cita un libro escrito en una lengua que pareció portugués o yiddish, hasta que se vio que era un dialecto samoyedo-lituano del guaraní, con inflexiones de árabe clásico. Lengua bien curiosa, por cierto.

También están en la Biblioteca las versiones de cada libro en todas las lenguas. Y las interpolaciones de cada libro en todos los libros. Todo esto, lector, es sólo un juego, un ejercicio intelectual, espléndido y banal a la vez. La matemática de los conjuntos infinitos es mucho más compleja y exigente, con conceptos poco aptos para la literatura, por no ser fácilmente comprensibles. Los expertos sonreirán frente a estos elementales artificios, estos juegos borgianos, que hay que tomar con la natural cautela.

El narrador también afirma: “No me parece inverosímil que en algún anaquel del universo haya un libro total”, que sea el compendio perfecto de todos los demás. Ese libro, añado yo, ha de existir forzosamente, si puede escribirse con veinticinco símbolos (podría ocupar más de un volumen). Si puede existir, si su probabilidad no es cero, entonces, en un tiempo infinito, existirá. La ley Cero-Uno de Kolmogórov dice que, dada una serie infinita de sucesos independientes, cualquiera de ellos ha de tener una probabilidad de cero o de uno. Por lo tanto, si la probabilidad no es cero, tiene que ser uno. En otras palabras, si algo puede existir, acabará existiendo… en un tiempo infinito.

Es lo que se proclama en el llamado teorema del mono infinito, cuya idea germinal se remonta a Émile Borel, quien, en su libro Mécanique Statistique et Irréversibilité (1913), aseguró que es extremadamente improbable que un millón de monos, mecanografiando diez horas diarias, produzcan algo parecido a cualquier libro de la  Biblioteca Nacional de Francia. Mucho después, en 1970, se introdujo una variación absolutamente sustancial: un solo mono inmortal, tecleando sobre una máquina de escribir durante un tiempo infinito, podría escribir cualquier texto dado. Un número infinito de monos podrían producir todo texto posible inmediatamente, sin demora. De hecho, en ambos casos, el texto sería producido un infinito número de veces.

Lector, trato de hacer patente la extraordinaria dificultad para aprehender y manejar el concepto de infinito. Borges se mueve con soltura en este terreno y produjo sugerentes textos de aquilatada belleza. Pero si de verdad quieres saber algo de los infinitos, tendrás que irte a la Matemática, a los autores especializados.

Te copio un fragmento más de su relato: “Sospecho que la especie humana —la única— está por extinguirse y que la Biblioteca perdurará: iluminada, solitaria, infinita, perfectamente inmóvil, armada de volúmenes preciosos, inútil, incorruptible, secreta”. Con una prosa así, se puede embaucar a cualquiera. Pero también es justo recibir ese tesoro pensando que no todo es oro puro, que hay también maravillosa pedrería dudosa.