De las Letras y de las Ciencias (4 de 5)

Los números primos de Mersenne se obtienen mediante la fórmula: M_n = 2ⁿ  - 1 y al principio se pensaba que todos eran primos si n era primo; esto se vio luego que era falso y Hudalricus Regius ya mostró, en 1536, que 2¹¹ - 1 = 2047 no era primo (es igual a 23*89). Se comprobó más tarde que estos números eran primos para n=17, 19, 31, pero no para n=23, 29, 37… Fue por fin Mersenne quien compiló una lista de estos primos (exponentes hasta 257) y conjeturó que los de su lista eran los únicos posibles. Cometió algunos errores, porque incluyó a M₆₇ y M₂₅₇, que no son primos, y en cambio omitió M₆₁, M₈₉ y M₁₀₇, que sí lo son. También se equivocó al pensar que no existían primos de este tipo con exponentes mayores de 257; hoy sabemos que hay primos de Mersenne mucho más grandes. La lista definitiva, hasta el exponente 257, reconocida en 1947, es con los exponentes 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127.

Actualmente, hasta el 7 de enero del 2016, se conocen 49 primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos por ahora el M_{74 207 281} = 2^{74 207 281}−1, un número de más de veintidós millones de dígitos, exactamente 22338618. Los más recientes primos mayores, que se han ido conociendo gracias a potentes ordenadores, son casi siempre primos de Mersenne, pero no constantemente. Ha sido un matemático de la Central Missouri University, Curtis Cooper, el que calculó este último número; ya había logrado cuatro veces este récord, la primera el 15 de diciembre del 2005.

Ocurre también, lector amigo —supongo que puedo llamarte así a pesar de esta dura entrada— que 2ⁿ - 1 es la suma de la siguiente  progresión geométrica: 2⁰ + 2¹ +2² + 2³ +… + 2 ^(n-1) = 2ⁿ -1. No todas estas sumas, para diferentes n, son números primos, como ya se hizo notar; de hecho muy pocas son números primos. Tan pocas que, hasta ahora mismo —hasta el 7 de enero del 2016— sólo 49 cumplen la condición, como ya escribí. Entre los cien primeros números naturales hay sólo tres primos de Mersenne, el 3, el 7 y el 31, mientras que el número total de primos es veinticinco. Y entre los mil primeros números, en los que hay 168 primos, sólo hay 4 de Mersenne, los tres mencionados antes y el 127; estos cuatro eran ya conocidos por los matemáticos de la antigua Grecia. El quinto, el 8191, fue hallado en el siglo XV por un autor anónimo y los dos siguientes, el 131071 y el 524287, son del siglo XVI y se deben a Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), un brillante matemático italiano que nació y murió en la ciudad de Bolonia, mi querida Bolonia, en donde hice mi doctorado hace ya muchos años, aunque no tantos como para coincidir con este Pietro Antonio.

Los primos de Mersenne, que resultan del cómputo 2ⁿ -1 (la suma de una progresión, como ya sabemos), multiplicados por el último término de la misma, 2^(n-1), son números perfectos. Esta es la proposición final, para los cuatro primeros, del libro IX de los Elementos de Euclides de Alejandría, escritos hace unos 2300 años. Para que esto se entienda, tengo que decir lo que son los números perfectos, atribuidos por algunos a Pitágoras, unos doscientos años antes, y lo haré muy brevemente. Cualquier número, si no es primo, tiene divisores, aparte de él mismo y el uno. Al sumar todos los divisores de un número, la suma puede tener el mismo valor que el propio número, o ser mayor o menor. En el primer caso se dice que el número es perfecto. En los otros dos casos, se habla de números abundantes o defectivos, respectivamente. Dos ejemplos de números perfectos son el 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, y el 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248. Por todo lo explicado, resulta evidente que Pietro Antonio Cataldi, al hallar dos primos de Mersenne en el siglo XVI, también encontró, como es obligado, dos números perfectos, el sexto y el séptimo de orden: el (2¹⁷ – 1)* 2¹⁶ = 8.589.869.056 y el (2¹⁹ – 1)*2¹⁸= 137.438.691.328, respectivamente.

Escribiré algo más y terminaré esta serie con la próxima entrada, la quinta. Estoy arrepentido de cómo la planteé; mi objetivo era mostrar la potencialidad del paradigma científico para entender el mundo, frente al de las Letras para el mismo empeño. Venía todo del escrito de un periodista que, dado el sentido peyorativo del término “letrasado”, abundaba en las ventajas para esta tarea de la formación en Letras. Quería yo hacer valer el perfectamente compatible mérito de las Ciencias. Quise también, y ahí mi error, contar algo de los apasionantes problemas de la Matemática, esa “bella desconocida”. Pretender eso en unas pocas entradas es imposible.

Desde que se separaron claramente las Letras y las Ciencias —los sabios antiguos era teólogos, filósofos, matemáticos, médicos, etc., todo a la vez— se hizo evidente que la falta de comunicación entre aquellas era una desgracia. El físico y novelista inglés Charles Percy Snow, en su Conferencia Rede, en Cambridge, titulada Las dos culturas, de 1959, y en su libro sobre el mismo tema, de 1963, señaló que en gente dedicada a las Humanidades existe frecuentemente un desconocimiento profundo de principios y postulados científicos esenciales. Los de Ciencias, en cambio, por lo menos han oído hablar de Shakespeare. Esto puede tener alguna explicación, pero esa asimetría, que era negativa entonces y siempre, ahora puede ser catastrófica, suicida.