De números grandes, de la divina proporción

Palabras clave (key words): Gúgol, Universo, biblioteca de Borges, Luca Pacioli.

Uno de los grandes números más conocidos es el llamado Gúgol, que tiene mi edad, ya que fue en 1938 cuando lo definió el matemático americano Edward Kasner, con el nombre que le dio su sobrino Milton, de nueve años. Su valor es 10^100, un uno seguido de cien ceros. En mi entrada del 5/1/2016, hablando sobre la probabilidad de un empate en una votación, escribí cantidades mucho mayores, como 1.914563504E+910, en donde figura un uno seguido de 910 ceros. Hablaré hoy de un acertijo frecuente entre matemáticos: ¿cuál es el número más alto que se puede escribir con sólo tres dígitos?

La respuesta es así: con tres nueves, escribiendo 9^9^9 (el signo ^ quiere decir potenciación) se obtiene el número 1.966270505E+77. Es lo mismo que 9^81, ya que 9*9=81 (el asterisco indica multiplicación). ¿Incómodo con estas cifras? ¡Bah!, yo, modestamente, me manejo con estos números como si hablara de docenas de huevos, con la misma facilidad. Lector, un momento, antes de seguir: no me creas todo lo que te digo. Ahora bien, si escribo 9^(9^9), con un paréntesis, entonces la cosa cambia. Porque no se trata de elevar 9 a la potencia 81, sino a la (9^9). O sea, 9^387420489. Esto ya es un número de 370 millones de dígitos. Tampoco son tantos, ¿verdad? Una futesa.

Para ir clarificando un poco, hablaré de cosas más concretas y diré el número de átomos que hay en el Universo. Diversas estimaciones lo cifran en unos 10^80, mucho menos de un gúgol. Pero no hay que fiarse, porque la materia oscura (~25 %) y la energía oscura (~70 %) dejan sólo un ~5 % de materia ordinaria, visible (bariónica). En todo caso, 9^387420489 excede cualquier cálculo de las partículas del Cosmos. Es que el Universo, en cierto sentido, es pequeñito, comparado con otros reductos imaginados por el hombre, y además está casi vacío. Borges soñó una biblioteca con libros de 410 páginas y cuarenta líneas de ochenta caracteres; o sea, 1312000 símbolos cada libro. Como hay 25 símbolos distintos para cada carácter (22 letras, el punto, la coma y el espacio), el número de libros posibles es 25^1312000, igual a 1.956*10^1834097, o, en notación científica, 1.956E+1834097. Cifra impensable, desconcertante, pero de ningún modo infinita; una pamema para cualquier Dios que se precie.

Entre esos libros habrá uno sin letra alguna, en blanco, y otros que tendrán sólo una letra. Otros repetirán la misma letra de principio a fin. Otros no tendrán puntos ni comas, como algunos de narrativa ‘moderna’. Muchos no tendrán sentido, pero todas las grandes obras escritas por el hombre estarán allí. Esta entrada, desgraciadamente, no estará. ¿Sabes por qué?, lector. Porque tiene números y Borges no los consideró.

Esta amenazante entrada empezó a fraguarse esta mañana, al leer en alguna parte que las tarjetas de los bancos, dinero plástico que llaman, tenían dimensiones de acuerdo con la razón áurea. Si veo algo así tengo que comprobarlo con urgencia; no lo puedo evitar, cada uno es como es. Lo hice y no es verdad, sus medidas no son las de la razón áurea. Pero ya me metí en números y me perdí. Digo dos palabras más sobre esto y acabo.

Un segmento puede dividirse en dos, a y b, de tal manera que el cociente entre la longitud total (a+b) y la del más largo (a), sea como la de a al más corto, b. Y esa razón, que se designa con la letra griega Φ (phi), por el escultor griego Fidias, que la utilizó en sus obras, se dice que dota de una especial elegancia o belleza a las figuras que la cumplen. Longitud y ancho de las tarjetas bancarias se acercan a esa proporción áurea, pero no exactamente. Claro que, una tarjeta de esas ‘black’, con crédito ilimitado y gratuito, también tiene su gracia y su aquel. Φ vale 1.618…, y es un número irracional con infinitos decimales. Su inverso, 1/Φ, es igual a 0.618… y Φ^2 es 2.618…, y los decimales son los mismos siempre. De razón o proporción áurea, número áureo, divina proporción, etc., está llena la Red. Pregunta allí por Luca Pacioli, un fraile franciscano del XV-XVI, que escribió De divina proportione, un libro, ilustrado nada menos que por el mismísimo Leonardo, que yo he mencionado en alguna ocasión.