Sobre blogs, precedencias y abades (final)

Interrumpí mi relato, para no hacerlo demasiado largo, y continúo ahora un poco con los abades. Uno de los más inteligentes era aquel de La venganza de Don Mendo, del infortunado Pedro Muñoz Seca, que intervino sagazmente en la cuestión de si había que castigar al gran Duque de Toro, por haber dudado de la cristalina pureza de su prometida, la impar Magdalena. Le pidieron su opinión: “Hablad, buen Abad, hablad”. Y el sabio abad no se hizo de rogar y sentenció:

ABAD

 

El gran Duque, como yo,

cree que su esposa futura

es pura, cual aura pura.

¿Opino bien?

DON PERO

¿Cómo no?

ABAD

Pues si todos, según veo,

creen lo mismo que yo creo,

¿a qué más sangre verter?

¿A qué este asunto mover,

si ha de haber luego himeneo?

¿Que él al dudar la ofendió?

Pues al casarse, coligo

que su pecado purgó,

que el casamiento, creo yo,

es suficiente castigo. 

Obsérvese, no sólo el buen juicio del abad sobre el matrimonio y su potencialidad para purgar cualquier clase de delito, sino, sobre todo, esa pregunta retórica que hace antes de emitir su dictamen: ¿Opino bien?, extremadamente pertinente para reforzar su autoridad moral. Y la contundente respuesta de don Pero: ¿Cómo no?, que afianza el carácter oracular de la consulta; justamente lo que pretendía el señor abad.

De todos modos, el abad más conocido por todos los españoles es uno que daba arroz a una zorra; a ese lo conoce todo el mundo: Dábale arroz a la zorra el abad, se dice. Para añadir enseguida que se trata de un palíndromo, una frase —también puede ser una palabra, un número— que es la misma leyéndola hacia delante o hacia atrás. No sé si el arroz vigoriza mucho a los zorros y zorras, pero casi seguro que alimentarlos no es bueno para las gallinas. Quizá el abad no hacía bien en esto; no lo sé. Cuando se hace o se dice algo, hay que pensar en todos. Una variante exonera al abad de cualquier responsabilidad: Adán dábale arroz a la zorra; el abad, nada

Alguna idea más sobre precedencias, en este caso colectivas. Todas las violoncelistas son guapas; esto se ha demostrado hasta la saciedad, aunque no se conozcan las razones últimas del fenómeno —hay muchas cosas que ignoramos todavía, que la ciencia no es capaz de explicar—. Lo mismo ocurre con las mujeres filólogas, sin que se sepa la causa. La conjunción filóloga y bibliotecaria es especialmente irresistible y letal para hombres de cierta candidez, que hallan imposible sustraerse a su encanto. Tampoco se sabe por qué; alguien lo descubrirá algún día.

Sobre blogs, precedencias y abades

Llevo ya unas cuantas entradas muy serias e historiadas, con más fórmulas y números de los que son menester y es el momento de cambiar un tanto. Yo quiero hacer un blog sencillo y modesto, sin pretensiones y, sobre todo, distraído. Lo que ocurre es que siendo un escritor aficionado, eso no es tan fácil. Me explico.

Si eres un escritor famoso, ya puedes escribir sobre cualquier fruslería. Conozco un blog de un premio Nobel que es caligráfico, no mecanografiado, en el que se puede ver una escritura muy aseada, en papel rayado de pauta estrecha, y con expresiones corrientes y familiares, como “Mi mamá me mima”, o “El ama amamantaba al mamoso”, etc. Está teniendo un éxito arrollador. Si no eres Nobel, pero has tenido otros premios importantes, puedes hablar de cómo cocinas y de las comidas que te gustan, como la tortilla de patatas, las ensaladas, las croquetas y todo eso, y el punto que hay que darle a los guisos. En cambio, si no eres conocido, te ves obligado a hablar del teorema de Kolmógorov y cosas así, lo que no deja de ser una lata —lector, confío en ti; tú sabrás distinguir mis bromas y mentirijillas—.

Hoy querría escribir como si estuviera ya por encima del bien y del mal. He leído una parte de las Memorias del Duque de Saint-Simon y me ha llamado la atención su desparpajo en otorgar títulos o precedencias. Dice, por ejemplo, que el conde Aguilar era el hombre más feo de España; que el Marqués de Mancera era el más caballero de España, docto y muy inteligente, etc. Vamos, que no se callaba sus valoraciones. En una película de José Luis Garci se decía de un antiguo político que era la persona más triste de Europa…

A mí no me parece mal esto de etiquetar al personal. La mujer más guapa de España se sabe perfectamente que es de Palencia y se conoce su lugar de trabajo, ¿por qué no se publicita esto convenientemente? Así sabe uno a qué atenerse. El más intenso opinante de España, y sobre los más variados temas, es, muy probablemente, el abad de Montserrat, ¿por qué no se reconoce este mérito más ampliamente?

Tengo alguna experiencia de abades. Estudiando en la Universidad, algún año hice una especie de ejercicios espirituales, modernos, nada ortodoxos, en un monasterio. Éramos un grupo, asistíamos a los rezos de los monjes y comíamos con ellos. En las comidas, uno de los frailes leía textos, como no he sabido o podido encontrar después. Eran sobre la Edad Media española y veíamos allí —lo veíamos— el bullicio en los estrechos burgos, la mezcla de razas, de lenguas, de religiones, el comercio de los judíos, el refinamiento de los árabes, el áspero furor de los cristianos en la reconquista. Era una delicia escuchar aquello. El abad era un reconocido especialista en Historia Medieval y seleccionaba los textos. Luego, en una sala que llamaban de las vacas, porque los sillones estaban tapizados con piel de esos animales, el buen abad nos contaba cosas aún más interesantes. Ah, si uno pudiera volver atrás, rebobinar.

Lector, yo quiero este blog amistoso y ameno. Lo que ocurre es que a veces me gustan cosas no tan simples. Y también, eso lo tengo muy dicho, que pretendo inducir levemente a asomarse a algún saber, a interesarse por alguna cosa particular.

¿Es infinita la Biblioteca de Babel?

Como otras veces, quedan cabos por atar. En mi entrada anterior escribí que la Biblioteca de Babel no era infinita. Aduje entonces lo que se dice en el propio relato, al mencionar un espejo que duplica las apariencias: los hombres suelen inferir “que la Biblioteca no es infinita (si lo fuera realmente, ¿a qué esa duplicación ilusoria?)”. Ahora, releyendo más atentamente, ya no estoy tan seguro. Me explico.

Porque también se lee que “la Biblioteca se compone de un número indefinido, y tal vez infinito, de galerías hexagonales”. Y un poco más adelante, cuando el narrador habla de su muerte, detalla: “Mi cuerpo se hundirá largamente y se corromperá y disolverá en el viento engendrado por la caída, que es infinita”. En fin, en otro momento se puede leer: “Yo afirmo que la Biblioteca es interminable”.

Interminable vale por infinita. Como se ve, también hay razones para abogar por un Biblioteca infinita. Quizá pueda confundir el hecho innegable de que los libros sí son finitos, numerables —1,956*10^1834097—, como ya hice ver. Podría tratarse entonces de una Biblioteca infinita, ocupada por un número de libros finito, enorme, inconcebible. Aun así, la parte vacía de la Biblioteca sería infinita, como la Biblioteca misma.

El número de lenguajes que existen en la biblioteca tampoco es infinito. Si cada lenguaje es definido por su vocabulario y sus reglas gramaticales, los veinticinco símbolos del alfabeto pueden dar lugar a muchos lenguajes diferentes, pero siempre en número limitado, porque el número de combinaciones de los citados símbolos no es infinito. Esos lenguajes existen de hecho y Borges cita un libro escrito en una lengua que pareció portugués o yiddish, hasta que se vio que era un dialecto samoyedo-lituano del guaraní, con inflexiones de árabe clásico. Lengua bien curiosa, por cierto.

También están en la Biblioteca las versiones de cada libro en todas las lenguas. Y las interpolaciones de cada libro en todos los libros. Todo esto, lector, es sólo un juego, un ejercicio intelectual, espléndido y banal a la vez. La matemática de los conjuntos infinitos es mucho más compleja y exigente, con conceptos poco aptos para la literatura, por no ser fácilmente comprensibles. Los expertos sonreirán frente a estos elementales artificios, estos juegos borgianos, que hay que tomar con la natural cautela.

El narrador también afirma: “No me parece inverosímil que en algún anaquel del universo haya un libro total”, que sea el compendio perfecto de todos los demás. Ese libro, añado yo, ha de existir forzosamente, si puede escribirse con veinticinco símbolos (podría ocupar más de un volumen). Si puede existir, si su probabilidad no es cero, entonces, en un tiempo infinito, existirá. La ley Cero-Uno de Kolmogórov dice que, dada una serie infinita de sucesos independientes, cualquiera de ellos ha de tener una probabilidad de cero o de uno. Por lo tanto, si la probabilidad no es cero, tiene que ser uno. En otras palabras, si algo puede existir, acabará existiendo… en un tiempo infinito.

Es lo que se proclama en el llamado teorema del mono infinito, cuya idea germinal se remonta a Émile Borel, quien, en su libro Mécanique Statistique et Irréversibilité (1913), aseguró que es extremadamente improbable que un millón de monos, mecanografiando diez horas diarias, produzcan algo parecido a cualquier libro de la  Biblioteca Nacional de Francia. Mucho después, en 1970, se introdujo una variación absolutamente sustancial: un solo mono inmortal, tecleando sobre una máquina de escribir durante un tiempo infinito, podría escribir cualquier texto dado. Un número infinito de monos podrían producir todo texto posible inmediatamente, sin demora. De hecho, en ambos casos, el texto sería producido un infinito número de veces.

Lector, trato de hacer patente la extraordinaria dificultad para aprehender y manejar el concepto de infinito. Borges se mueve con soltura en este terreno y produjo sugerentes textos de aquilatada belleza. Pero si de verdad quieres saber algo de los infinitos, tendrás que irte a la Matemática, a los autores especializados.

Te copio un fragmento más de su relato: “Sospecho que la especie humana —la única— está por extinguirse y que la Biblioteca perdurará: iluminada, solitaria, infinita, perfectamente inmóvil, armada de volúmenes preciosos, inútil, incorruptible, secreta”. Con una prosa así, se puede embaucar a cualquiera. Pero también es justo recibir ese tesoro pensando que no todo es oro puro, que hay también maravillosa pedrería dudosa.

La Biblioteca de Babel

Dije que hablaríamos de la Biblioteca de Babel, la que seguramente vio Borges en 1941 y vertió en un relato famoso, ahora en Ficciones. Tiene detalles muy concretos, está demasiado estructurada para pensar que sea sólo fruto de su imaginación. En algún momento el maestro argentino debió de verla, inopinadamente, por esa rendija que, por una fracción de segundo, se abre en el Universo y nos permite contemplarlo en su plenitud. Es un fenómeno extraordinariamente raro: el Cosmos, Dios, la Biblioteca y el hombre se confunden y son la misma entidad, la misma cosa.

Lector, no quiero perderte; tú entiendes que todo es una manera de hablar. Te quiero contar alguna cosa de esa Biblioteca. Lo primero, lo más notorio: que no es infinita. Es vastísima, su magnitud es inabordable por el intelecto humano, pero no es infinita. Y si en los cálculos de mi entrada anterior hablábamos de palabras, aquí se trata de libros, de libros completos, aunque hechos de palabras. Sin embargo, en la Biblioteca borgiana no hay dos libros idénticos y esto limita, automáticamente, su número.

Cada libro tiene 410 páginas de cuarenta líneas de ochenta caracteres; o sea, tiene 1.312.000 caracteres o símbolos. Como hay 25 símbolos distintos —Borges considera un alfabeto de 22 letras, más el punto, la coma y el espacio— el número de libros posibles es 25^1.312.000, o, en notación científica, 1,956*10^1834097. Cifra impensable, desconcertante, pero de ninguna manera infinita; una pamema para cualquier Dios. Para que te hagas una idea, lector, te diré que todo el Universo, los átomos que lo constituyen, las partículas subatómicas que los forman, todo junto, representa una cantidad ridícula comparada con ese número.

Aparte de estas constataciones matemáticas, el propio Borges insinúa, de modo sutil, casi desde el principio del relato, que la Biblioteca no es infinita. Escribe que en cada zaguán —no puedo hablar de la geometría de la Biblioteca aquí: los hexágonos, los zaguanes, los anaqueles, las lámparas— hay un espejo que duplica las apariencias, por lo que los hombres deducen “que la Biblioteca no es infinita (si lo fuera realmente, ¿a qué esa duplicación ilusoria?)”. 

En esos libros está todo: “la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los arcángeles, el catálogo fiel de la Biblioteca, miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, la demostración de la falacia del catálogo verdadero…”. […]  “Todo lo que es dable expresar, en todos los idiomas”. Me quedo aquí con una duda sobre la corrección o pertinencia de esta última afirmación. Con un lenguaje diferente, de más caracteres, ¿no serían posibles otros libros distintos? Entiendo que sí y todo lo que cuenta Borges ha de aplicarse al idioma escogido, con sólo 25 símbolos. O, si se quiere, a todo lo que sea traducible a dicho idioma.

El relato es inabarcable en su belleza y su profundidad. Resumo lo que, para mí, es más intrigante y misterioso del mismo. La Biblioteca, explica el autor, habrá producido el idioma inaudito que se requiere para aclarar los misterios básicos de la humanidad. “En algún anaquel de algún hexágono (razonaron los hombres) debe de existir un libro que sea la cifra y el compendio perfecto de todos los demás: algún bibliotecario lo ha recorrido y es análogo a un dios”.

Opino que ese libro, por la trabazón lógica del relato, existe forzosamente. Está comprendido entre las numerosísimas combinaciones del alfabeto y su lectura es posible, como la de los demás libros, sin necesidad de ningún idioma inaudito. El idioma inaudito del que habla Borges, sería entonces para leer un libro de otro tipo. ¿Cuál puede ser ese libro? ¿Cómo se llega hasta él? El autor deja la cuestión en el aire, abiertas todas las posibilidades.
 

Nota: Incluyo algunas imágenes sugestivas, tomadas de Internet.
 

Los números de las palabras

En unas entradas anteriores hablé de números y en la última volví a las palabras. En esta, un poco como boutade —como capricho, como broma—, hablaré de los números de las palabras. Enseguida me explico.

Lector, ¿te has preguntado alguna vez cuántas palabras se pueden formar con las letras de nuestro alfabeto? En castellano, contando nuestra ñ, hay 26 letras y para mis cálculos consideraré sólo palabras de hasta doce letras. No es una longitud excesiva; hay palabras bastante más largas en el lenguaje común. ‘Circunstancialmente’, la primera que se me ocurre, tiene diecinueve.

Pues bien, con esas 26 letras, y con palabras de una hasta doce letras, se pueden formar unos 99.000 billones de palabras. Hay que aclarar que utilizo la escala numérica larga (un billón es un millón de millones), como se hace en casi todo el mundo; sólo en los países de lengua inglesa se emplea la corta. Este sinsentido todavía persiste. No molesta gran cosa, porque los científicos emplean en sus trabajos una notación que no deja dudas. En nuestro caso, el número de palabras posibles es 9,92461*10¹⁶, en donde 10¹⁶ equivale al número 1 seguido de 16 ceros. Entendiendo, claro, que consideramos como palabra cualquier agrupación de letras. aaa es una palabra, bbbb, otra. Palabras impronunciables, palabras que no significan nada, etc.

El interés, la preocupación, por el número de palabras posibles no es nuevo. En la Edad Media, en algún momento hubo un cierto temor de que las palabras tuvieran algún límite, pudieran resultar insuficientes para el progresivo desarrollo humano. Era una especie de miedo a la finitud de las palabras, a la escasez, al agotamiento de los nombres, lo que se había llamado desde tiempos antiguos la penuria nominum.

Ya en el siglo XVII, con los progresos de la matemática combinatoria, se buscaba erradicar esa duda. El poeta alemán Georg Philipp Harsdörffer, autor de una cincuentena de libros en latín y alemán, en su Mathematische und philosophische Erquickstunden, del 1651, razona que con 264 unidades, que incluyen letras, sílabas, prefijos, sufijos, etc. —su procedimiento es muy distinto al delineado por mí más arriba—, disponiéndolas sobre cinco ruedas para formar las correspondientes combinaciones, se pueden generar 97.209.600 palabras, en el idioma alemán; la mayoría obviamente sin sentido.

Un poco antes, en 1622, Pierre Guldin, en su Problema arithmeticum de rerum combinationibus, calculaba que con 23 letras del alfabeto, en grupos variables de dos a veintitrés letras, se generaban, por combinación, unos setenta mil trillones de palabras, cantidad que ni me molesto en recalcular. Si estas palabras, sigue diciendo Guldin, se escribieran en cuadernos de mil páginas (cien líneas de sesenta caracteres cada página), un cubo de 133 metros de lado podría almacenar 32 millones de cuadernos. Harían falta 8.052.122.350 de estos cubos para albergar todas las palabras posibles. Como decía antes, la mayoría de estas palabras carecen de sentido. Pero podrían tenerlo, se les podría adscribir uno. Un inconveniente más serio es que muchas de ellas serían absolutamente impronunciables. Pero podrían ser escritas, sin embargo…

El ser humano ha sentido muy distintos y atenazadores miedos en su dolorosa y errática evolución. Alguna vez hubo cierto pavor de que las palabras llegaran a ser insuficientes. No ha ocurrido así, hay palabras hasta de sobra. Por ello se ha de saber buscar la necesaria, la insustituible, la que exprese justamente lo que queremos transmitir. Eso ya no es tan fácil; eso es lo que hace un buen escritor.

La biblioteca de Babel, la que imaginó o vio Borges en 1941, no se parece a la de Guldin, más de tres siglos anterior, pero de eso hablaremos otro día.  

Sobre la ninfa Eco y las palabras

En las cuatro entradas anteriores, he hablado de mis queridos números, de sus clases, de sus misterios, de su extraordinaria capacidad para explicar, quizá para crear, el mundo. Me apetece ahora volver a mis queridas palabras. Empezaré con la leyenda de la ninfa Eco, una de las inagotables de la mitología griega.

Eco era una ninfa de los bosques que, inadvertidamente, un día distrajo con su charla a Hera, cuando esta vigilaba a Zeus, su esposo, embarcado en una de sus continuas historias de infidelidad. La cogió en un mal momento, esa es la verdad, y la  cruel diosa, irritada por la interrupción, la castigó a no poder hablar ya nunca, conservando sólo la facultad de repetir los últimos sonidos de sus interlocutores. Si alguien después se dirigió a ella y le preguntó, al verla, que si estaba triste, la pobre Eco sólo pudo responder “iste”, el eco de la última palabra. No pudo abrirle su corazón sangrante, contarle sus penas, buscar consuelo. Terrible, ¿no?
 

Algún hombrezuelo podría bromear y argüir que una tal mudez no es indeseable en una mujer. Nada más injusto; odio esa clase de mezquindades y bravuconadas masculinas. La pobre Eco anduvo desde entonces solitaria y perdida. Languidecía en la espesura de los bosques, se refugiaba en las cuevas más escondidas y secretas... Hasta que, de la manera más casual, encontró una mañana al bellísimo Narciso, se enamoró perdidamente de él e intentó seducirle, sin ningún éxito.
 

¡Ah, si la ninfa Eco hubiera podido hablar! ¡Quién sabe si habría podido lograr el amor del joven! Las palabras tiernas, la sinceridad, el desnudar el alma ante el otro, la angustiosa demanda de comprensión y afecto, todas esas cosas, juntas o separadas, pueden obrar milagros. A lo mejor habría despertado el amor en el esquivo Narciso y lo habría sustraído así a su infausto destino.
 

Lector, estarás pensando, con toda razón, que para enamorar también están las miradas, las lágrimas, el lenguaje corporal... Sí, pero la palabra es la palabra. No hay nada tan poderoso. Todo queda magnificado, multiplicado por el milagro de haber escogido las palabras justas, las que nos emocionan y conducen a la alfaguara íntima de la que brotan los sentimientos. En el terreno de la literatura, eso ocurre sólo con algunos escritores y sólo cuando están en estado de gracia.

Siempre me pregunto, ¿cómo es posible que esas nonadas, esas briznas de aire estremecido, esos pocos sonidos que se hilvanan en un instante para dejar de existir inmediatamente, tengan tanta fuerza, tanto poder? Las palabras son capaces de cambiar el devenir del mundo, de torcer la voluntad de las gentes; han sido cuidadosamente hechas para eso. “Se llevaron el oro y nos dejaron el oro... Se lo llevaron todo y nos dejaron todo... nos dejaron las palabras”, cantó Pablo Neruda, refiriéndose a los conquistadores. Créeme, lector, la palabra es más cegadora que la luz, más veloz que el viento, más certera y mortífera que la flecha, más engañosa y complicada que cualquier laberinto imaginable. Por eso, para mí, la literatura no puede ser otra cosa que el pulimento, la orfebrería de las palabras. El escritor ha de ser un argentador de palabras.

Thomas Mann, en su Muerte en Venecia, expresa la idea de que la palabra sólo puede celebrar la belleza, no reproducirla. Se refiere, obviamente, a la belleza plástica, a la belleza física, que es de alguna manera inefable. No se puede traducir en palabras, con total fidelidad, el esplendor, la armonía de un cuadro, de una estatua, de una persona concreta. Pero la palabra tiene su propio campo de acción y es capaz de producir una belleza —la que le es consustancial, la literaria— absolutamente embriagadora y poderosa, que, en mi entender, ha de estar siempre presente, con la necesaria dosificación, en cualquier obra de literatura.

La dote del Sultán (final)

Llegó el momento de hablar de la dote del Sultán. Este sultán tuvo el capricho de casar a una de sus cien hijas con alguien que no fuera noble, con ciertas condiciones. El pretendiente iría viéndolas una a una y en ese momento conocería la cuantía de su dote. Así, hasta decidirse por una de ellas. Las dotes eran diferentes, no sé yo ahora por qué. Quizá el sultán quería ser muy justo y las repartió de acuerdo con las cualidades personales de su prole. ¿Y qué cualidades? Lector, a veces me apuras con tus preguntas. Tampoco lo sé. Estos asuntos no son fáciles de enjuiciar. Imagina que fuera de acuerdo con su inteligencia. ¿Y a quién debería dar más?, ¿a la más lista, a la más tonta? No está nada claro. Yo le daría más a la más tonta, para tratar de compensar. Digo yo.

Había una puñetería más: el matrimonio sólo tiene lugar si el pretendiente escoge a la de mayor dote (la verdadera razón para la diversidad de dotes es que el problema la exige). Esta generosidad extrema del sultán complica las cosas. La mecánica era la siguiente: Se presenta una hija y se proclama su dote. Si el pretendiente no la escoge, se pasa a la siguiente y ya no hay vuelta atrás posible. Cuando ya elige una, termina la presentación. Si no es la de máxima dote, del total de las cien hijas, no hay boda; es lo único que cuenta. Si el pretendiente se deja arrebatar por la belleza de alguna y luego no es la mejor dotada, adiós mi amor. Hay que intentar descubrir la dote mayor y punto. Aparte de que todas las nenas eran muy guapas. ¿Hay alguna buena estrategia para ello?

Lector, ¿escogerías la primera? Es muy poco probable que sea la de mejor dote, aunque la probabilidad es la misma que para la posición 17, 56 o cualquier otra (1/100). ¿La segunda? No quiero que te rompas la cabeza: hay una estrategia óptima. Hay que dejar pasar unas cuantas hijas, fijándose, eso sí, en la cuantía de sus dotes. Después de eso, se escoge la que tenga una dote mayor que todas las anteriores. Puede que ya no exista una dote mayor  —porque estaba entre las que se dejaron pasar— o que, una vez escogida, no sea la más grande, que correspondería a una hija que no llegó a presentarse. Pero también puede ser, efectivamente, la dote más alta; no es imposible.

¿Y cuántas conviene dejar pasar, antes de escoger? Eso está claro. Lector, multiplica 100 por 1/e, lo que da 36,787 y deja pasar, sin escoger, las 37 primeras hijas. Con esa estrategia óptima, la probabilidad de escoger a la de mayor dote es 0,371, o 37,1 %, si prefieres. Como es habitual, te ahorro los cálculos, que son correctos, aunque no inmediatos ni fáciles. Obviamente, son idénticos para cualquier número de hijas. En el ordenador he simulado el proceso —lo he hecho con dos mil sultanes y cuarenta hijas— y los resultados hallados coinciden con los esperables teóricamente.

Si yo fuera soltero, haría lo siguiente. Iría a un sitio en donde hubiera muchos sultanes. Y les contaría este cuento con pasión y los pertinentes adornos, diciendo que es muy divertido, etc., a ver si alguno se animaba. Si lograba uno, ya tenía un 37,1 % de probabilidades de casar bien. Si lograba convencer a dos, ya tenía 74,2 % (la suma de 37,1 + 37,1). Con tres, 111,3 %.

Por Dios, lector, si calculas así, te aconsejo que no te dediques a esto. No puede haber una probabilidad mayor de uno, mayor del 100 %. Estas cuentas hay que hacerlas con las probabilidades inversas. La de no conseguir la novia con un sultán es de 0,629 (o sea, 1 – 0,371). Probando con dos sultanes es 0,629 al cuadrado (0,396); con tres, 0,629 al cubo (0,249). Por lo tanto, la probabilidad de conseguir novia, de tener un final feliz, es 37,1 %, 60,4 % y 75,1 %, respectivamente. Por muchos sultanes que haya, la probabilidad nunca llega a uno; sólo lo hace con infinitos sultanes.

¿Qué estrategia escogería el buen abad de Montserrat, que opina sobre tantas cosas? Me gustaría saberlo, porque seguramente será digna de atenta consideración. Tal vez tenga una estrategia aún mejor. Se trataría sólo de una elucubración teórica; por sus especiales circunstancias, no tendría que cargar con ninguna de las sultanitas, aunque pudiera hacerlo tan bien como cualquier otro. No me permitiría ninguna liviandad en mis palabras, que las quiero de la máxima corrección. Josep Pla escribió de una tostada aliñada: Parece un trozo de casulla de cardenal teñida por un sol moribundo. ¿Era irreverente Pla? De ninguna manera. Yo tampoco.

La dote del Sultán

Iba a dejar por ahora estos temas matemáticos, pero luego pensé que era mejor machacar en caliente y hablar de un sutil problema que llamó mi atención hace tiempo, el de la dote del Sultán. Está relacionado con el número e, un irracional trascendente, base de los llamados logaritmos naturales o neperianos. Aparece muy a menudo en el cálculo, como el número π en geometría. Su descubrimiento se atribuye a uno de los Bernouilli suizos, Jacob, cuando estudiaba un supuesto de interés compuesto continuo, hacia finales del siglo XVII. Explicaré esto algo más. Su designación con la letra e minúscula, se debe al matemático, también suizo, Leonhard Euler, en el año 1727.

Repárese en los dos calificativos anteriores del interés: compuesto y continuo. Se habla de interés compuesto cuando la renta generada se reinvierte y empieza también a producir ganancia. Para calcularlo hay que conocer forzosamente el período temporal, la frecuencia, de reinversión. Lector, supón un capital de cien euros colocado al 100 % anual (los bancos muchas veces son muy generosos). Con interés simple, al año se tendrían doscientos. Pero si es compuesto, con un período de seis meses, se tendrán 225 —en el primer semestre 150 y en el segundo 225—. Si el período es mensual, se tienen 261,3035… Si es diario, 271,4567… (los decimales siempre infinitos).

Cada vez más euros. Si fuera cada segundo, 271,8281… Haciendo el período cada vez más corto, infinitesimal (interés compuesto continuo), se podría llegar, Dios sabe dónde. Tal vez a trescientos, cuatrocientos euros. ¡Ah, eso no! Las cantidades son progresivamente crecientes, pero crecen cada vez menos y hay un límite para esa progresión. Ese límite al que converge la serie y que no se puede sobrepasar, es justamente el número e. Y así lo encontró y calculó Bernouilli. Como ocurre con π, el número de decimales es infinito y en el 2010 se conocía un billón de ellos. Mostraré aquí sólo los nueve primeros: 2,718281828… En términos matemáticos, e es el límite de la expresión (1 + 1 /n) ⁿ , cuando n tiende a infinito.

Otro asunto relacionado. Si una cierta cantidad, por ejemplo, 20, la dividimos en dos y multiplicamos las dos partes, tenemos 100. Si la dividimos en cuatro, y las multiplicamos todas, tenemos 5⁴ = 625, que es mucho más. Si la dividimos en diez partes, tenemos 2¹⁰ = 1024, más aún. El máximo se tiene cuando se divide de manera que el tamaño de cada una de las partes se aproxime al número e. Curioso, verdad.

No es sólo eso. Si se cuelga una cadena de sus extremos, adopta una forma, que se puede describir con una fórmula en la está el número e. El crecimiento de poblaciones muchas veces es exponencial, lo que equivale a decir que en su estudio surge el número e. La llamada espiral logarítmica, la spira mirabilis, tan querida por Jacob Bernouilli, que quiso que fuera dibujada en la lápida de su tumba —lo que no logró, porque los canteros se equivocaron y esculpieron otra espiral, la de Arquímedes—, está presente en la naturaleza y en la fórmula que la describe también aparece el número e. Hay muchas espirales (la de Fermat, la hiperbólica, etc.); la logarítmica había sido descrita ya por Descartes, en 1638. Para terminar, incluso a la hora de resolver el problema de la dote del sultán, también hay que contar con el número e. Por eso me he permitido este preámbulo sobre dicho número.

Lector, este último problema, el de la dote del sultán, te interesa, porque te podría ayudar quizá a hacer un estupendo casamiento —matrimoniar con la hija más rica de un sultán—, lo que sería muy conveniente en estos tiempos de crisis. Y en todos los tiempos, para qué lo vamos a negar. Pero eso lo dejamos para la próxima entrada, para no hacer esta demasiado larga.

Matemática, la bella desconocida

Como amenacé, hablaré del método de la ‘aguja de Buffon’ para calcular el valor de π. Siempre me recordó un juego de mi niñez: había que clavar una pequeña barra de hierro terminada en punta en unos cuadrados dibujados en la tierra y que se extendían hasta una cierta distancia del lanzador. Era más difícil cuanto más lejano estaba el cuadrado; si el hierro no se clavaba, quedaba tendido en la tierra.

El modelo de Georges Louis Leclerc, conde de Buffon, consiste en el lanzamiento al azar de una aguja sobre el dibujo de unas rectas paralelas equidistantes y es sobre todo una construcción teórica. El sabio francés demostró que la probabilidad de que la aguja cruce a alguna de ellas es igual a 2 / π. Por lo tanto, π = 2 * N * L / A * D, donde N es el número de lanzamientos de la aguja, A el número de veces que cruza alguna recta, L la longitud de la aguja y D la distancia entre las paralelas (el asterisco denota multiplicación). Es un problema clásico de probabilidad geométrica. Ahorro al lector, la deducción de la fórmula (más fácil si L≤ D), que puede encontrarse en cualquier libro. Todo deriva de que la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las rectas es proporcional al seno del ángulo que, al caer, forma con ellas.

Decidí fijarme en este modelo porque es muy conocido en la historia de la Matemática y relaciona realidades o conocimientos de campos dispares y aparentemente ajenos. También porque, con un PC y el programa apropiado, cualquiera puede simular en segundos el lanzamiento de la aguja un millón de veces y encontrar el valor de π. En realidad, la simulación no sirve para calcularlo, pero sí para validar el modelo y la llamada ley de los grandes números en la teoría de la probabilidad.

El número π está presente en muchos cálculos de áreas y volúmenes. Pero aparece en muchas más circunstancias. La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es 6 / π², por ejemplo. Π está presente en la integral de Gauss, en la constante cosmológica, en el principio de incertidumbre de Heisenberg, etc. (omito las fórmulas). Finalmente, está en esa famosa identidad de Euler, que no deja de maravillar e inquietar a muchos: e ^i*π = -1. Parece que tuviera un sentido esotérico y mágico esta relación entre dos irracionales trascendentes y el imaginario i. Sobre π quedan abiertas todavía muchas incógnitas. No se sabe si alguno de los dígitos, del cero al nueve, puede dejar de aparecer en la serie de decimales de la constante. No se sabe con certeza si todos los dígitos tienen la misma probabilidad de aparecer en dicha serie…

Hay también geometrías que son perturbadoras, que tienen algo de misterioso e incomprensible. Entre las más curiosas está la de una superficie con una sola cara, como la ideada por el matemático alemán Augusto Fernando Moebius (1790-1868), que no es fácil de ser entendida o concebida por nuestro cerebro. O el llamado problema de los cuatro colores, planteado por Francis Gutrie en 1852. O el propuesto por Euler, conocido como el problema de los puentes de Königsberg (hoy Kaliningrado).

Lector, no quiero extenderme más y quedan muchas cosas en el aire. Pretendo decirte que la matemática no es aburrida y describe muchas realidades del Universo como no puede hacerlo ninguna otra ciencia; es el pensamiento en estado puro. El creador hizo el Cosmos more geométrico, ciertamente. Hay un conocido pasaje de Galileo, en Il Saggiatore, año 1623, donde expresa este convencimiento: el Universo está escrito en lenguaje matemático; sus letras son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible comprender una sola palabra.

No puedo terminar sin citar a Sir Francis Bacon: Pure mathematics do remedy and cure many defects in the wit and faculties intellectual; for if the wit be too dull, they sharpen it; if too wandering, they fix it; if too inherent in the sense, they abstract it (Las matemáticas remedian y curan muchos defectos de la inteligencia y facultades intelectuales; porque si el ingenio es demasiado romo, lo afilan; si demasiado movedizo, lo fijan; si demasiado pegado a los sentidos, lo hacen abstracto).

Tengo que terminar. He hablado de cosas en las que creo y a las que amo y de las que conozco sólo los principios más generales. Que no haya aburrido mucho, mi intención es buena.

De las clases de números y de π

Escribí hace poco que “la Matemática es la más bella de las artes”; así, sin más explicaciones. Es sólo una frase. Pero es verdad que la matemática es la ciencia de la exactitud, de la certidumbre, de la perfección. En realidad, no siempre; hay regiones en las que esta verdad no es absoluta. Un matemático contemporáneo, Gregory J. Chaitin, habla así de sus descubrimientos: I have discovered an area or constructed an area where mathematical truth is completely random or structureless and escapes the power of reasoning, and will forever escape the power of reasoning. […] I work completely on the basis of intuition… The act of creation in mathematics is just as magical and mysterious as the act of artistic creation. I would also say that mathematics and art are much more similar than people realize (abrevio: He descubierto un área donde la verdad matemática escapa al poder del razonamiento. […] Trabajo por intuición… El acto de creación en matemáticas es tan mágico como en el arte. Diría que las matemáticas y el arte se parecen más de lo que la gente cree).

No puedo entrar en detalles. En el volumen II de mis ensayos, Por si ayudaran, hay uno, La Matemática, esa bella desconocida, en que dedico más tiempo a este tema. Ahora me limitaré a recordar las distintas clases de números y hablaré un poco más de uno de ellos, un trascendente, el designado con la letra griega π (pi).

Comprendemos bien los números racionales, no en balde se llaman así; son perfectamente asequibles a la razón… con un poquito de entrenamiento. Dentro de los racionales, hay diversas clases, pero todas participan de esa cualidad. Son naturales el uno, los primos y los compuestos. El cero ya supone un avance en el simbolismo de los números y la humanidad tardó siglos en entenderlo, en diseñarlo, en operar con él. También hay números  [que son negativos y esto tampoco es inmediatamente entendible para los recién iniciados. Ni el cero ni los negativos son números naturales, pero todos son números enteros. Los fraccionarios (propios e impropios) no son enteros y con estos forman el conjunto de los números racionales.

Los números irracionales son ya otro asunto.  No se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo y tienen infinitas cifras decimales aperiódicas. Hay dos tipos: algebraicos y trascendentes. No importa ahora distinguirlos y sólo he llegado hasta aquí para colocar en su debido lugar al número π. Junto a los racionales integran el conjunto de los números reales. Hay otros números, los imaginarios, que son bastante más incomprensibles. Estos, junto a los reales, forman el conjunto de los números complejos. Se suele decir que, de todos estos números, sólo los naturales fueron creados por Dios, los restantes son obra de los hombres.

¿Son entonces los hombres más listos que Dios? No, padre. Ocurre que el buen Dios nos dio un cerebro portentoso para que jugáramos; eso es todo. Por eso alguna gente piensa que aquellas verdades a las que se llega con él, con el cerebro, son las únicamente exigibles. ¿Y lo de las verdades del corazón, de las que habló Pascal? Eso, padre, entiendo yo que hay que saber cogerlo, restringirlo, moderarlo.

Ya sabemos que el número π es un irracional trascendente; tiene infinitas cifras decimales, sin un período que se repita incansablemente, su parte decimal es aperiódica. ¿Y se conocen muchas de esas cifras? Muchísimas. Hace unos cuatro mil años ya se tenía una idea aproximada de π. En el papiro egipcio Rhind, el escriba Ahmes sostiene que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado sea igual al diámetro del círculo menos su novena parte; es decir, 8/9 del diámetro. Esto da un valor de π de 3.1604938… Ha habido muchos cálculos posteriores. Hay muchas reglas mnemotécnicas para recordar los primeros decimales de π. Todo está en los libros.

Con los computadores, las cifras decimales de π crecieron desmesuradamente. En 1949 se calcularon 2037. En el 2009, con una supercomputadora, integrada por 640 computadoras de alto rendimiento, con velocidad de 95 teraflops —flops: floating-point operations per second—, se llegó a los dos billones y medio de decimales de π.

Yo quería hablar de una de las muy diversas formas de abordar el cálculo de π, diseñada por Georges Louis Leclerc (1707-1788), conde de Buffon, y que se conoce como el método de la ‘aguja de Buffon’. Desde que lo leí por primera vez, me recordó un juego que practicábamos de niños, lanzando un cincel o cortafrío, que no sé de dónde lo sacábamos, para clavarlo en terreno no muy duro, en unos cuadrados que dibujábamos previamente. Todo lo que antecede no es sino una introducción que me pareció pertinente. El asunto de la aguja lo dejaré para la siguiente entrada. Esto me pasa. No se olvide que de lo que trato es de mostrar cosas e incitar a recordarlas, a completarlas.